тригонометрични функции

[Гост]

zad.png (269.79 KiB) Прегледано 414 пъти

[S.B.]

Задача 6:
Пример e)
$\frac{3 - 4cos2\alpha + cos4\alpha}{3 + 4cos2\alpha+ cos4\alpha} = $

$=\frac{4 - 1 - 4cos2\alpha + cos4\alpha}{4 - 1 + 4cos2\alpha + cos4\alpha} = $

$ = \frac{4(1 - cos2\alpha) - (1 - cos4\alpha)}{4(1 + cos2\alpha) - (1 - cos4\alpha)} = $

$= \frac{8sin^{2}\alpha -2sin^{2}2\alpha}{8cos^{2}\alpha - 2sin^{2}2\alpha} =$

$= \frac{8sin^{2}\alpha - 8sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha}{8cos^{2}\alpha - 8sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha} =$

$= \frac{8sin^{2}\alpha(1 - cos^{2}\alpha)}{8cos^{2}\alpha(1 - sin^{2}\alpha)} = $

$ = \frac{sin^{4}\alpha}{cos^{4}\alpha} = tg^{4}\alpha$

Пример д)
[tex]cotg\alpha - tg\alpha - 2tg2\alpha - 4tg4\alpha =[/tex]
$ = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} - \frac{sin\alpha}{cos\alpha} - 2tg2\alpha - 4tg4\alpha = $

$ = \frac{cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha}{sin\alpha cos\alpha} - 2tg\alpha - 4tg4\alpha = $

$ = \frac{2cos2\alpha}{sin2\alpha} - \frac{2sin2\alpha}{cos2\alpha} - 4tg4\alpha = $

$ = 2\frac{cos^{2}2\alpha - sin^{2}2\alpha}{sin2\alpha.cos2\alpha} - 4tg4\alpha = $

$ = \frac{4cos4\alpha}{sin4\alpha} - \frac{4sin4\alpha}{cos4\alpha} = $

$ = 4 \frac{cos^{2}4\alpha - sin^{2}4\alpha}{sin4\alpha cos4\alpha} = 8\frac{cos8\alpha}{sin8\alpha} = 8cotg8\alpha$

[S.B.]

Задача 7:
Пример в)

[tex]cos\alpha + cos\beta + cos\gamma =[/tex]

$= cos\alpha + 2.cos\frac{\beta + \gamma}{2}..cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$= cos\alpha + 2.cos\frac{\pi - \alpha}{2}.cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = cos\alpha + 2.cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}).cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = cos\alpha + 2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = 1 - 1 + cos\alpha + 2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = 1 - (1 - cos\alpha) + 2.sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = 1 - 2sin^{2}\frac{\alpha}{2} + 2.sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\beta - \gamma}{2} = $

$ = 1 - 2sin\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2} - cos\frac{\beta - \gamma}{2}) = $

$ = 1 - 2sin\frac{\alpha}{2}[ cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) - cos(\frac{\beta}{2} - \frac{\gamma}{2})] = $

$ = 1 + 4sin\displaystyle\frac{\alpha}{2}.sin\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi - \alpha + \beta - \gamma}{2}}{2}.sin\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi - \alpha - \beta + \gamma}{2}}{2} = $

$ = 1 + 4sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{(\pi + \beta) - (\alpha + \gamma)}{4}.sin\frac{(\pi + \gamma) - (\alpha + \beta)}{4} = $

$ = 1 + 4sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{(\pi + \beta) - (\pi - \beta)}{4}.sin\frac{(\pi + \gamma) - (\pi - \gamma)}{4} = $

$ = 1 + 4sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{2\beta}{4}.sin\frac{2\gamma}{4} = $

$ = 4sin\frac{\alpha}{2}.sin\frac{\beta}{2}.sin\frac{\gamma}{2} + 1$

[KOPMOPAH]

За задача $6$, подточка г) ако не е изучавана формулата:$$\sin\alpha \cos\beta =\frac{\sin(\alpha - \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}$$то тя лесно може да бъде получена от:
$$\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}2 \cos \frac{\alpha-\beta}2$$
И така:$$\sin 10\alpha \cos 4\alpha-\sin 6\alpha \cos 8\alpha =\frac{\sin(10\alpha - 4\alpha)+\sin(10\alpha + 4\alpha)}{2}-\left(\frac{\sin(6\alpha - 8\alpha)+\sin(6\alpha + 8\alpha)}{2}\right)=$$ $$=\frac{\sin 6\alpha +\sin 14\alpha}{2}—\left(\frac{\sin(- 2\alpha)+\sin 14\alpha}{2}\right)=\frac 12(\sin 6\alpha+\cancel{\sin 14\alpha}+\sin 2\alpha-\cancel{\sin 14\alpha})=\frac 1{\cancel{2}}.\cancel{2}\sin 4\alpha \cos 2\alpha=\sin 4\alpha \cos 2\alpha$$

[S.B.]

За задача $6$, подточка г) ако не е изучавана формулата:$$\sin\alpha \cos\beta =\frac{\sin(\alpha - \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}$$

Изучавана е,колега KOPMOPAH,изучавана е!Нещо повече:домашното,което е снимано е зададено точно върху урока "Сбор,разлика и произведение на тригонометрични функции с различни аргументи" .Нашият ГОСТ е ДЛЪЖЕН да знае поне за съществуването на тези формули и на коя страница от учебника при нужда би могъл да ги види.Аз умишлено не реших примерите ,които се решават,чрез директно прилагане въпросните формули.Реших и от 6 -та и от 7-ма задачи само онези примери,при които се изисква някаква допълнителна "фантазия".

[Лорчето]

Здравейте, моля Ви да ми помогнете с 2 примера. Ето ги и тях:
a) cos(alfa+beta)×cos(alfa-beta)=cos²alfa-sin²beta
б) sin(alfa+beta)×sin(alfa-beta)=sin²alfa-sin²beta

[Гост]

Благодаря на всички за помощта! <3

[Евва]

а) Условието сигурно е -докажете тъждеството cos([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex])cos([tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])=[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]
__________________________________________________________________________
cos([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex])cos([tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex][ cos([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]) + cos([tex]\alpha[/tex]+[tex]\beta[/tex]+[tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex]) ]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex](cos2[tex]\beta[/tex]+cos2[tex]\alpha[/tex])=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex](2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]-1+2[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-1)=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex].2([tex]cos^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-1)=

=[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]-1=

=[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]+(1-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\beta[/tex])-1=

=[tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-[tex]sin^{2}[/tex][tex]\beta[/tex]