Права призма и пресечена четириъгълна пирамида

[Гост]

Моля помогнете ми със следните задачи:
1. Основата на права призма е ромб със страна а. Намерете височината на призмата, ако диагоналите и са d1 и d2.
2. Височината на правилна пресечена четириъгълна пирамида е h. Околният ръб и диагоналът на пирамидата са наклонени към равнината на основата под ъгли съответно алфа и бета. Намерете околната повърхнина на пирамидата.

[S.B.]

Без заглавие (18).png (340.9 KiB) Прегледано 309 пъти

2. Височината на правилна пресечена четириъгълна пирамида е h. Околният ръб и диагоналът на пирамидата са наклонени към равнината на основата под ъгли съответно алфа и бета. Намерете околната повърхнина на пирамидата.

Построявам сечението [tex]ACC_{1 }A_{1 }[/tex] по диагоналите на долната и горната основа - $AC$ и $A_{1 }C_{1 }$
От $\triangle HCC_{1 } \rightarrow \frac{CH}{HC_{1 }} = cotg\alpha \Rightarrow HC = hcotg\alpha , $
От $\triangle AHC_{1 } \rightarrow \frac{AH}{HC_{1 }} = cotg\beta \Rightarrow AH = hcotg\beta$
$AC = AH + HC = h(cotg\alpha + cotg\beta) , AC = AB\sqrt{2} $ (защото е диагонал в квадрата $ABCD$ )
$ \Rightarrow AB = \frac{h\sqrt{2}}{2}(cotg\alpha + cotg\beta)$
От равнобедрения трапец $ACC_{1 }A_{1 } \rightarrow A_{1 }C_{1 } = AC - 2HC = h(cotg\alpha + cotg\beta) - 2hcotg\alpha)$
$A_{1 }C_{1 } = h(cotg\beta - cotg\alpha) , A_{1 }C_{1 } = A_{1 }B_{1 }\sqrt{2} \Rightarrow A_{1 }B_{1 } = \frac{h\sqrt{2}}{2}(cotg\beta - cotg\alpha)$
Построявам сечението $MNN_{1 }M_{1 }$, където $M$ и $N$ са среди съответно на $AB$ и $CD$,а $М_{1 }$ и $N_{1 }$ са среди съответно на $A_{1 }B_{1 }$ и $C_{1 }D_{1 }$ В трапеца $MNN_{1 }M_{1 } , MN = AB, M_{1 }N_{1 } = A_{1 }B_{1 } , MM_{1 },NN_{1 }$ са апотеми в околните стени.
$M_{1 }L \bot MN,M_{1 }L = h , ML = \frac{MN - M_{1 }N_{1 }}{2} = \frac{1}{2}[\frac{h\sqrt{2}}{2}(cotg\alpha + cotg\beta) - \frac{h\sqrt{2}}{2}(cotg\beta - cotg\alpha)] = \frac{h\sqrt{2}}{4}(cotg\alpha + cotg\beta - cotg\beta + cotg\alpha) = \frac{h\sqrt{2}}{4}.2cotg\alpha \Rightarrow$
$ML = \frac{h\sqrt{2}}{2}cotg\alpha$
От $ \triangle MNM_{1 } \rightarrow MN^{2}= ML^{2} + M_{1 }L^{2} \Leftrightarrow MN = \sqrt{\frac{h^{2}cotg^{2}\alpha}{2} + h^{2}}$
$MN = h\sqrt{\frac{cotg^{2}\alpha + 2}{2}}$
$S_{ок } = \frac{P + P_{1 }}{2}.k$
$P = 4AB = 2h\sqrt{2}(cotg\alpha + cotg\beta) , P_{1 } = 4A_{1 }B_{1 } = 2h\sqrt{2}(cotg\beta - cotg\alpha) , k = MN = h\sqrt{\frac{cotg^{2}\alpha + 2}{2}}$
Заместваш във формулата преработваш и получаваш:
$S_{ок } = 2h^{2}\sqrt{2}cotg\beta\sqrt{\frac{cotg^{2}\alpha + 2}{2}}$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплескала сметките!А иначе идеята е ясна

[KOPMOPAH]

Призма с основа ромб.png (11.74 KiB) Прегледано 306 пъти

Отбелязваме:$$CC_1=h,\,GH=\frac 12 h,\,AH=\frac 12 d_1,\,BH=\frac 12 d_2$$
От теоремата на Питагор за $\triangle AGH$ имаме:$$AG^2=AH^2-HG^2=\frac 14 d_1^2-\frac 14 h^2$$ От теоремата на Питагор за $\triangle BGH$ имаме:$$BG^2=BH^2-HG^2=\frac 14 d_2^2-\frac 14 h^2$$ От теоремата на Питагор за $\triangle AGB$ ($AG\bot BG$) имаме:$$AG^2+BG^2=AB^2\Rightarrow \frac 14 d_1^2-\frac 14 h^2+\frac 14 d_2^2-\frac 14 h^2=a^2$$ $$h^2=2\left(\frac {d_1^2+d_2^2}4-a^2\right)\Rightarrow h=\frac {\sqrt {2\left(d_1^2+d_2^2-4a^2\right)}}2$$