Решаване на триъгълник

[Гост]

Здравейте, затруднявам се със следните две задачи. Бих се радвала, ако някой ми помогне! При първата задача се опитах да изразя алфа чрез синусова теорема, но отговорът, който получих не ми изглеждаше уместен. След което изразих R чрез синусова теорема. Опитах да намеря страната c този път чрез косинусова теорема, след преобразуването получих квадратно уравнение, но крайният отговор отново ме притесни

[S.B.]

Без заглавие (88).png (173.87 KiB) Прегледано 537 пъти

Имаш дадени 2 страни и ъгъл - най удачно е да приложиш Косинусова теорема ,за да намериш третата страна $AB = x$:
[tex]AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2.AB.BC.cos\beta \Leftrightarrow 13^{2} = x^{2} + 8^{2} - 2.8.x.cos60^\circ \Leftrightarrow[/tex]
$ 169 = x^{2} + 64 - 8x.\frac{1}{2} \Leftrightarrow x^{2} - 8x - 105 = 0 , D = 484, \sqrt{D} = 22, x_{1,2 } = \frac{8\pm 22}{2} \Rightarrow x_{1 } = 15,x_{2 } = -7 < 0 $
$AB = 15$
$P = 15 + 8 + 13 = 36$
$S_{ABC } = \frac{AB.BC}{2}.sin\beta \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{15.8}{2}.sin60^\circ = 15.8\frac{\sqrt{3}}{4}$

Скрит текст: покажи

Ако не си учила тази фомула за лице на триъгълник,спокойно можеш да използваш Хероновата формула,защото знаеш и трите страни.Ще получиш същия резултат

$S_{ABC } = 30\sqrt{3}$
$S_{ABC } = p.r\rightarrow 30\sqrt{3} = 18.r \Rightarrow r = \frac{30\sqrt{3}}{18}$
$r = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
За да намериш $ R$ е удачно да използваш Синусова теорема:
$\displaystyle\frac{AC}{sin\beta} = 2R \Rightarrow \displaystyle \frac{13}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle\frac{13\sqrt{3}}{3}$
Отговорите са: $$P = 36 , S = 30\sqrt{3} , r = \frac{5\sqrt{3}}{3}, R = \frac{13\sqrt{3}}{3}$$

[S.B.]

За втората задача ти препоръчвам да използваш формулата за медиана,тъй като са ти дадени 2 страни и медиана.
[tex]m_{a }^{2} = \frac{1}{4}(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}) \Leftrightarrow 8^{2} = \frac{1}{4}(2.7^{2} + 2.c^{2} - 5^{2})[/tex]
От тук намираш страната $c$ и след като имаш вече трите страни,чрез Хероновата формула намираш лицето на триъгълника:
Херонова формула : $S_{\triangle } = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ , където $p$ е полупериметъра на триъгълника,а $a , b , c$ са страните му
Успех!

[mail_dinko]

Зад. 4:
От това, че AM е медиана, следва, че CM=5/2
След прилагане на кос. Т. за триъгълник АМС
[tex]AM^2=AC^2+CM^2-2AC.CM.cos \angle C \rightarrow cos \angle C = - \frac {7}{28}[/tex]
От [tex]sin^2 \angle C + cos^2 \angle C = 1 \Rightarrow sin \angle C = \pm \frac {\sqrt {15}}{4}[/tex]
[tex]S \triangle ABC = \frac {1}{2} . sin \angle C . b.a = \frac {35}{2} . \frac {\sqrt {15}}{4}[/tex]
[tex]S \triangle ABC = \frac {35 \sqrt {15}}{8}[/tex]