Изразете радиуса на описаната около триъгълник окръжност

[uchenik1515]

Здравейте! Може ли малко помощ с две задачи, които ми трябват за утре. Благодаря предварително!

1. Изразете радиуса на описаната около триъгълник окръжност чрез страните a и b и ъгъла γ (гама),заключен между тях.
Упътване: Използвайте синусовата и косинусовата теорема.

2.Изразете страните на триъгълник чрез ъглите му α (алфа) и β (бета) и чрез ъглополовящата lc на третия ъгъл.

[Davids]

1. Третата страна изразяваме чрез косинусова теорема: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2abcos\gamma}$.
Сега по синусова теорема изразяваме:
$\frac{c}{sin\gamma} = 2R \Rightarrow\boxed{ R = \frac{c}{2sin\gamma} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2abcos\gamma}}{2sin\gamma}}$

2. Имаш $\gamma = 180 - (\alpha + \beta) \Rightarrow \frac{\gamma}{2} = 90 - \frac{\alpha + \beta}{2}$
По синусова теорема в двата триъгълника, на които $l_c = CL$ разделя $\triangle ABC$:
1) $sinT$ за $\triangle LBC \Rightarrow\frac{l_c}{sin\beta} = \frac{a}{sin(\beta + \frac{\gamma}{2})} \Rightarrow a = \frac{l_csin(\beta + \frac{\gamma}{2})}{sin\beta} = \frac{l_csin(\beta + 90 - \frac{\alpha + \beta}{2})}{sin\beta} = \frac{l_ccos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{sin\beta}$

2) $sinT$ за $\triangle ALC \Rightarrow \frac{l_c}{sin\alpha} = \frac{b}{sin(\alpha + \frac{\gamma}{2})} \Rightarrow b = ... = \frac{l_ccos(\frac{\beta-\alpha}{2})}{sin\alpha}$

3) За $c$ има много възможности, ще оставя сметките на теб

[uchenik1515]

Благодаря много!!!