Стереометрия-Многостени

[ognyanbo]

Може ли някой да ми обясни как се решават следните две задачи

[S.B.]

Без заглавие (93).png (268.36 KiB) Прегледано 265 пъти

Зад.19
Околните ръбове сключват еднакви ъгли с равнината на основата - следователно върхът на пирамидата се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност.В твоята задача това е средата на хипотенузата на [tex]\triangle ABC - т.H[/tex]
$V_{MABC } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.MH$
От $\triangle HMC \rightarrow \frac{HM}{MC} = tg\beta \Rightarrow MH = h = \frac{c}{2}.tg\beta$
От $\triangle ABC \rightarrow \frac{AC}{c} = cos\alpha \Rightarrow AC = c.cos\alpha ; \frac{BC}{c}= sin\alpha\Rightarrow BC = c.sin\alpha$
$S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{c^{2}sin\alpha.cos\alpha}{2}$
$V_{MABC } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.h = \frac{1}{3}.\frac{c^{2}sin\alpha.cos\alpha}{2}.\frac{c}{2}tg\beta$
$$V_{MABC } = \frac{c^{3}sin\alpha.cos\alpha.tg\beta}{12} = \frac{c^{3}.sin2\alpha.tg\beta}{24}$$

[Гост]

Ще може ли решение на 20-та

[S.B.]

Ще може ли решение на 20-та

Може
20-та задача:

Без заглавие (95).png (330.81 KiB) Прегледано 230 пъти

Пирамидата е правилна ,триъгълна - следователно върхът се проектира върху пресечната точка на медианите в основата.Медианите са и ъглополовящи и височини,но аз избирам понятието " медицентър",защото той дели медианите в отношение $2:1$
Нека означим основният ръб с $a$ ,а околният $l$
Ще решим първо стената на пирамидата [tex]ABM[/tex]:
Прилагам Синусова теорема: $\frac{AB}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow a = 2R.sin\alpha$
Прилагам Косинусова теорема:$a^{2} = l^{2} + l^{2} - 2l.l.cos\alpha \Leftrightarrow a^{2} = 2l^{2}(1 - cos\alpha) \Leftrightarrow a^{2} = 4l^{2}sin^{2}\frac{\alpha}{2} \Rightarrow$
$a = 2lsin\frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow 2R.sin\alpha = 2lsin\frac{\alpha}{2} \Rightarrow l = \frac{2Rsin\alpha}{2sin\frac{\alpha}{2}} = \frac{2Rsin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{sin\frac{\alpha}{2}}$
$l = Rcos\frac{\alpha}{2}$
Построявам сечение на пирамидата с равнина минаваща през околния ръб $MC$ и медианата в основата $CK$
Полученото сечение е $\triangle KCM$
$KC = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2Rsin\alpha\sqrt{3}}{2} \Rightarrow KC = R\sqrt{3}sin\alpha$ ($KC$ е медиана в равностранен триъгълник )
Като използвам свойството на медицентъра получавам $HC = \frac{2}{3}.KC \Leftrightarrow HC = \frac{2\sqrt{3}}{3}Rsin\alpha$
За $\triangle HCM $ прилагам Питагорова теорема :
$HM^{2} = MC^{2} - HC^{2} \Leftrightarrow h^{2} = l^{2} - HC^{2} \Leftrightarrow h^{2} = R^{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2} - \frac{4}{3}R^{2}sin^{2}\alpha = R^{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}(1 - \frac{16}{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2})$
$h = Rcos\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 - \frac{16}{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}}$
$V_{MABC } = \frac{1}{3}.S_{ABC }.h \Leftrightarrow V_{MABC } = \frac{1}{3}\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.h \Leftrightarrow $
$$V_{MABC } = \frac{\sqrt{3}}{3}R^{3}sin^{2}\alpha.cos\frac{\alpha}{2}\sqrt{1 - \frac{16}{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}}$$

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела сметките! Проверете ги.Иначе идеята мисля,че е ясна.