Задачи с тангенс

[Гост]

Докажете, че
tg(x)+tg(x+60[tex]^\circ[/tex])+tg(x+120[tex]^\circ[/tex])=3*tg(3*x)

И другата задача

tg 1[tex]^\circ[/tex]+ tg 5[tex]^\circ[/tex] + tg 9[tex]^\circ[/tex] + .... + tg 177[tex]^\circ[/tex] = 45

[Davids]

1. зад.:
$tgx + tg(x + 60) + tg(x + 120) = tgx + \frac{tgx + tg60}{1 - tg60.tgx} + \frac{tgx + tg120}{1 - tg120.tgx} = tgx + \frac{tgx + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tgx} + \frac{tgx - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}tgx} =$

Привеждаш под общ знаменател, разкриваш скобите, съкращаваш, привеждаш в нормален вид и получаваш:
$= 3\frac{3tgx - tg^2x}{1 - 3tg^2x} = 3tg3x$

Ако искаме да извеждаме формулата, това вече е отделна част от задачата. Ще оставя на теб, но я има и в интернет.

[Евва]

Гост,решението на втората задача го има в интернет .
Интересно е,че за да се докаже второто тъждество-се използва първото тъждество .

[Davids]

...
$= 3\frac{3tgx - tg^2x}{1 - 3tg^2x} = 3tg3x$

Объркал съм едната степен по грешка. Да се чете:
$= 3\frac{3tgx - tg^3x}{1 - 3tg^2x} = 3tg3x$

Относно втората задача (намерено в испански сайт):
$tg1 + tg5 + tg9 + ... + tg177 =$
$= (tg1 + tg61 + tg121) + (tg5 + tg65 + tg125) + (tg9 + tg69 + tg129) + ... + (tg57 + tg117 + tg177) = $

Използваме първа задача:
$= 3(tg3 + tg15 + tg27 + ... + tg171)$

Отново повтаряме операцията с тангенсите в скобите и получаваме:
$= 9(tg9 + tg45 + tg81 + tg117 + tg153)$

Сега разглеждаме:
$tg9 + tg45 + tg81 + tg117 + tg153 =$
$= tg9 + tg81 + tg117 + tg153 + 1 =$
$= tg9 + tg81 - tg63 - tg27 + 1 =$

Ползваме формулата $tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha cos\beta}$
$= \frac{sin90}{cos9cos81} - \frac{sin90}{cos63cos27} + 1 =$

$= \frac{1}{cos9cos81} - \frac{1}{cos63cos27} + 1 =$

$= \frac{2}{2sin9cos9} - \frac{2}{2sin27cos27} + 1 =$

$= \frac{2}{sin18} - \frac{2}{sin54} + 1 =$

$= 2(\frac{sin54 - sin18}{sin18sin54}) + 1 =$

$= \frac{4sin18cos36}{sin18sin54} + 1=$

$= \frac{4sin18cos36}{sin18cos36} + 1=$

$= 4 + 1 = 5$

И така целия ти израз става равен на $9.5 = 45$