Пирамида с перпендикулярни 2 стени и даден стенен ъгъл

[mathgod]

Основата на пирамида е ромб с стена а. Две съседни околни стени са перпендикулярни, на основата и сключват ъгъл помежду си αр а една от другите две околни стени сключва с основата ъгъл β. Намерете лицето на повърхнината и обема на пирамидата.

[Davids]

staa.png (71.35 KiB) Прегледано 438 пъти

Означенията са на чертежа.
$h\bot (ABCD) \Rightarrow \alpha = \angle(BC, CD)$
Спускаме $CH\bot AB \Rightarrow AH\bot CH$ и също $AH\bot QC \Rightarrow AH\bot QH$ и $QH$ е апотемата на околната стена $\triangle ABQ$.

От $\triangle BHC$, в който $\angle HBC = \angle BCD = \alpha \Rightarrow h_a = asin\alpha$
Oт $\triangle HCQ \Rightarrow h = h_atg\beta = asin\alpha tg\beta$ и също $k = \frac{h_a}{cos\beta} = \frac{asin\alpha}{cos\beta}$

Лицето на основата е $B = a^2sin\alpha$ по формулата за лице на ромб.
Лицето на всяка от двете перпендикулярни околни стени е $\frac{ah}{2} = \frac{1}{2}a^2sin\alpha tg\beta$, а на всяка от другите две, които са еднакви триъгълници, е $\frac{ak}{2} = \frac{a^2sin\alpha}{2cos\beta}$
Следователно лицето на пълната повърхнина на пирамидата е равно на $S = B + 2( \frac{1}{2}a^2sin\alpha tg\beta + \frac{a^2sin\alpha}{2cos\beta}) = a^2sin\alpha(1 + tg\beta + \frac{1}{cos\beta})$

А обемът на свой ред е $V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}a^3sin^2\alpha tg\beta$