СУ '00 - Обем на 4-ъгълна пирамида и лице на сечение

[adrenal1n]

Добър вечер на всички Бихте ли ми помогнали с една задача по стереометрия за обем на пирамида и лице на сечение, понеже само тя ми остана за утре, а ми е малко трудна Задачата е от СУ 2000 година. Ето я и нея:

Дадена е четириъгълна пирамида QABCD с основа правоъгълника ABCD със страни AB = 4 и BC = 1. Околният ръб QD e перпендикулярен на равнината на основата и ъгълът между равнините (QAB) и (ABCD) e два пъти по-голям от ъгъла между равнините (QBC) и (ABCD).
а) Да се намери обемът на пирамидата QABCD.
б) През върха D и средата M на ръба QB e построена равнина g, успоредна на AC. Да се намери лицето на сечението на g с пирамидата QABCD.

Отг. а) V = (8v2)/3 ; б) S = (5v2)/3.

Благодаря предварително

[ева]

а)
DQ=h-височина на пирам.;ако [tex]\angle[/tex]QCD=[tex]\alpha[/tex],то е дад.,че [tex]\angle[/tex]QAD=2[tex]\alpha[/tex]
[tex]от_{\triangle }[/tex]DCQ-правоъг. tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{h}{4}[/tex] (1)
[tex]от_{\triangle }[/tex]ADQ-правоъг. tg 2[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{h}{1}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}[/tex]=h (2)
зам.(1) в (2)
[tex]\frac{2\frac{h}{4}}{1-\frac{h^{2}}{16}}[/tex]=h ...h=2[tex]\sqrt{2}[/tex]
V=[tex]\frac{Bh}{3}[/tex]=[tex]\frac{4.1.2\sqrt{2}}{3}[/tex]=[tex]\frac{8\sqrt{2}}{3}[/tex]

[S.B.]

Вярвам,че колежката "ева",няма да се разсърди,че ще използвам резултатите,които е получила в подточка "а",тъй като в противен случай ще трябва да напиша отново същото решение,от което няма полза.
Подточка б:Пирамидата е същата,височината OQ =h= 2[tex]\sqrt{2}[/tex] както е получила "ева".
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]DBQ,правоъгълен;т.M - среда на BQ ( по условие) [tex]\rightarrow[/tex] DM е медиана
AC[tex]\cap[/tex]BD = т.O и QO също е медиана. QO[tex]\cap[/tex]DM = т.G и т.G e медицентър и [tex]\frac{DM}{DG}[/tex]=[tex]\frac{OQ}{QG}[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex]
Разглеждам [tex]\triangle[/tex]AQC, OQ е медиана и G[tex]\in[/tex] OQ така че [tex]\frac{OQ}{GQ}[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex] т. е. G е медицентър.Построявам права l,такава,че l минава през G и l II AC. l пресича съответно AQ в т.P и CQ в т.K Така се получава равнината [tex]\gamma[/tex],която е построена по пресичащите се прави DM и l (минаваща през D , М и II AC).Търсеното сечение на [tex]\gamma[/tex] и пирамидата е DPMK.
[tex]S_{DMPK }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].DM.PK.sin[tex]\angle[/tex]PGD
От [tex]\triangle[/tex]DBQ намирам DM=[tex]\frac{BQ}{2}[/tex], BQ=5 (от Питагор DQ=2[tex]\sqrt{2}[/tex],BD=[tex]\sqrt{17}[/tex]) DM=[tex]\frac{5}{2}[/tex];
PK намирам от [tex]\triangle[/tex]AQC - [tex]\frac{AC}{PK}[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex] или [tex]\frac{\sqrt{17}}{PK}[/tex]= [tex]\frac{3}{2}[/tex] от където PK = [tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\sqrt{17}[/tex]
Нека [tex]\angle[/tex]PGD= [tex]\varphi[/tex]Ще търсим sin[tex]\varphi[/tex] за да намерим лицето на сечението.
От [tex]\triangle[/tex]ADQ имаме по условие [tex]\angle[/tex]А= 2[tex]\alpha[/tex],DQ=2[tex]\sqrt{2}[/tex],AD=1 и tg2[tex]\alpha[/tex]=2[tex]\sqrt{2}[/tex] комбинирам със [tex]sin^{2}[/tex]2[tex]\alpha[/tex] + [tex]cos^{2}[/tex]2[tex]\alpha[/tex] =1 и получавам
cos2[tex]\alpha[/tex]= [tex]\frac{1}{3}[/tex] По Питагор AQ=3,от [tex]\frac{AQ}{PQ}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex] следва PQ=2 ,a AP=1;прилагам косинусова т-ма за [tex]\triangle[/tex]ADP и получавам PD=[tex]\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex]Сега се връщам в сечението DPMK и прилагам косинусова т-ма за [tex]\triangle[/tex]PDG ( където PG=[tex]\frac{PK}{2}[/tex],DG=[tex]\frac{DM}{3}[/tex],PD=[tex]\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex])и намирам cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{3\sqrt{17}}{17}[/tex] а от там
sin[tex]\varphi[/tex] = [tex]\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}[/tex] замествам [tex]S_{DPMK }[/tex]=[tex]\frac{DM.PK}{2}[/tex].sin[tex]\varphi[/tex] =[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{5}{2}[/tex].[tex]\frac{2\sqrt{17}}{3}[/tex].[tex]\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}[/tex]=[tex]\frac{5\sqrt{2}}{3}[/tex]