Прогресии

[Гост]

Здравейте, имам проблем с една задача от раздел "Прогресии". "Три числа, сборът на които е 78, образуват геометрична прогресия.тези три числа са същевременно първи, трети и девети членове на аритметична прогресия. Намерете числата." Благодаря предварително.

[mail_dinko]

Геометрична прогресия
[tex]a_1 ; a_2; a_3[/tex]
[tex]a_1 ; a_1 q; a_1 q^2[/tex]
[tex]a_1 + a_1 q + a_1 q^2 =78[/tex]

Аритметична прогресия:
[tex]b_1; b_3; b_9[/tex]
[tex]b_1 = a_1; b_3 = a_1 q; b_9 = a_1 q^2[/tex]

[tex]b_3 = b_ 1 + 2 d \Rightarrow d = \frac {b_3 - b _ 1 }{2}[/tex]
[tex]b_9 = b_ 1 + 8 d \Rightarrow d = \frac {b_9 - b _ 1 }{8}[/tex]
[tex]\frac {b_3 - b _ 1 }{2}= \frac {b_9 - b _ 1 }{8}[/tex]
[tex]a_1 q - a_1 = \frac {a_1 q^2 - a _1}{4}[/tex]
[tex]4 (q-1) = q^2 - 1[/tex]
[tex]4 (q-1) = (q-1)(q+1)[/tex]
[tex]q=3[/tex]
[tex]a_1 + 3 a_1 + 9 a_1 = 78 \rightarrow a_1 =6[/tex]
[tex]6;18;54[/tex]

[S.B.]

Здравейте, имам проблем с една задача от раздел "Прогресии". "Три числа, сборът на които е 78, образуват геометрична прогресия.тези три числа са същевременно първи, трети и девети членове на аритметична прогресия. Намерете числата." Благодаря предварително.

И още един поглед върху задачата
[tex]\frac{..}{..} a_{1 }, a_{2 } , a_{3 }[/tex]
като $a_{1 } = a, a_{2 } = a + 2d , a_{3 } = a + 8d ,d\ne 0$

$\begin{array}{|l} a + a + 2d + a + 8d = 78 \\ (a + 2d)^{2} = a(a + 8d) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3a + 10d = 78 \\ a^{2} + 4ad + 4d^{2} = a^{2} + 8ad\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}3a + 10d = 78 \\ 4d(a - d) = 0 \end{array} $

$4d(a - d) = 0 , d\ne 0 \Rightarrow a = d$
Тогава $3a + 10d = 0 \Leftrightarrow 13a = 0 \Rightarrow a = 6 , d = 6$
$$\frac{..}{..} 6 , 18,54$$