Безкрайно малка геометрична прогресия

[Гост]

Задачата гласи: "Даден е равностранен триъгълник със страна а. На височината му е построен друг равностранен триъгълник, на височината на последния е построен нов равностранен триъгълник и т.н. Намерете сбора от периметрите на всички триъгълници." Благодаря предварително.

[S.B.]

Задачата гласи: "Даден е равностранен триъгълник със страна а. На височината му е построен друг равностранен триъгълник, на височината на последния е построен нов равностранен триъгълник и т.н. Намерете сбора от периметрите на всички триъгълници." Благодаря предварително.

Първи триъгълник има страна = $a$ и височина = [tex]a\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow[/tex] страната на втория триъгълник е $a\frac{\sqrt{3}}{2}$ а на третия триъгълник страната е $ = a\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} = a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$
По тази логика намирам следната зависимост:
За $ \triangle_{1 } \rightarrow a_{1 }= a , P_{1 } = 3a$
За $\triangle_{2 } \rightarrow a_{2 } = a\frac{\sqrt{3}}{2} ,P_{2 } = 3a\frac{\sqrt{3}}{2}$
За $\triangle_{3 } \rightarrow a_{3 } = a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} ,P_{3 } = 3a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$
.....................................................................................
За $\triangle_{n } \rightarrow a_{n } = a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n - 1} ,P_{n } = 3a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n - 1}$
или получавам за периметрите:
$\frac{..}{..} 3a , 3a\frac{\sqrt{3}}{2} ,3a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} ..........3a(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n - 1} $
една безкрайна намаляваща геометрична прогресия,за която: $a_{1 } = 3a, q = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$
$$ S = \frac{a_{1 }}{1 - q}$$

$ S =\displaystyle \frac{a_{1 }}{1 - q } \Leftrightarrow S = \displaystyle\frac{3a}{1 - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}} = \displaystyle\frac{6a}{2 - \sqrt{3} } = 6a(2 + \sqrt{3})$

[Гост]

много благодаря, аз ,явно, не чета достатъчно добре условията