Дължина на окръжност

[Гост]

мат.jpg (8.98 KiB) Прегледано 459 пъти

мат.jpg (8.98 KiB) Прегледано 459 пъти

Благодаря предварително!

[Гост]

Съжалявам за двойната снимка

[Евва]

Нека [tex]А_{1 }[/tex][tex]А_{2 }[/tex]...[tex]A_{n }[/tex] е правилния n-ъгълник описан около окр.К(О;r) . Означаваме [tex]A_{1 }[/tex][tex]A_{2 }[/tex]=[tex]b_{n }[/tex] .
Разглеждаме равнобедрения [tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex][tex]А_{2 }[/tex]О ,от правилен [tex]\Rightarrow[/tex] окр.К се допира до страната [tex]А_{1 }[/tex][tex]А_{2 }[/tex] точно в средата ѝ ,
нека това е т.Р .Намираме [tex]\angle[/tex][tex]А_{1 }[/tex]О[tex]А_{2 }[/tex]=[tex]\frac{360^\circ}{n}[/tex] .
Медианата ОР се явява и височина и ъглопол. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]А_{1 }[/tex]РО=90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex][tex]А_{1 }[/tex]ОР=[tex]\frac{\angleА_{1 }ОА_{2 }}{2}[/tex]=[tex]\frac{180^\circ}{n}[/tex]
В правоъг.[tex]\triangle[/tex][tex]А_{1 }[/tex]РО tg[tex]\angle[/tex][tex]A_{1 }[/tex]OP=[tex]\frac{A_{1 }P}{OP}[/tex] ; tg([tex]\frac{180^\circ}{n}[/tex])=[tex]\frac{\frac{b_{n }}{2}}{r}[/tex] т.е. tg([tex]\frac{180^\circ}{n}[/tex])=[tex]\frac{b_{n }}{2r}[/tex] (1)

Нека [tex]В_{1 }[/tex][tex]В_{2 }[/tex]...[tex]B_{2n }[/tex] е правилния 2n-ъгълник описан около окр.К(О;r) . Означаваме [tex]B_{1 }[/tex][tex]B_{2 }[/tex]=[tex]b_{2n }[/tex] .
По същата логика намираме tg([tex]\frac{180^\circ}{2n}[/tex])=[tex]\frac{b_{2n }}{2r}[/tex] (2)

Да използваме формулата tg(2[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}[/tex]

Скрит текст: покажи

Заместваме (1) и (2) във формулата .

[tex]\frac{b_{n }}{2r}[/tex]=[tex]\frac{\frac{2}{1}.\frac{b_{2n }}{2r}}{\frac{1}{1}-\frac{b_{2n }^{2}}{4r^{2}}}[/tex] ;[tex]\frac{b_{n }}{2r}[/tex]=[tex]\frac{b_{2n }.4r^{2}}{r(4r^{2}-b_{2n }^{2})}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]b_{n }[/tex]=[tex]\frac{8r^{2}b_{2n }}{4r^{2}-b_{2n }^{2}}[/tex]
Сега приеми [tex]b_{n }[/tex] за параметър и от последния ред намери [tex]b_{2n }[/tex]=?
Спрямо неизвестното [tex]b_{2n }[/tex] имаш квадратно уравнение .Успех !