Трапец

[Гост]

Диагоналите на трапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка O. Ако
<AOD = 60°, AB – CD = 5 cm, AC = 3 cm и BD = 5 cm, намерете:
а) дължините на основите на трапеца;
б) дължината на височината на трапеца.

[S.B.]

Диагоналите на трапеца ABCD (AB || CD) се пресичат в точка O. Ако
<AOD = 60°, AB – CD = 5 cm, AC = 3 cm и BD = 5 cm, намерете:
а) дължините на основите на трапеца;
б) дължината на височината на трапеца.

Без заглавие - 2021-02-15T212241.473.png (233.43 KiB) Прегледано 709 пъти

[tex]\angle AOD = 60^\circ \Rightarrow \angle AOB = 120^\circ[/tex]
Подлагам диагонала $BD$ на транслация с вектор $\vec{DC}$ при която $D\rightarrow C , B \rightarrow P$
$BPCD$ е успоредник, $BP = CD ,DB || CP \Rightarrow \angle ACP = \angle AOB = 120^\circ$ (като съответни)
За $\triangle APC$ прилагам Косинусова теорема:
$AP^{2} = AC^{2} + PC^{2} - 2.AC.PC.cos120^\circ \Leftrightarrow (a + b)^{2} = 9 + 25 + 2.15.\frac{1}{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} = 49 \Rightarrow a + b = 7$
По условие $a - b = 5$ Образувам системата:
$\begin{array}{|l} a + b = 7 \\ a - b = 5 \end{array} \Rightarrow 2a = 12 \Rightarrow a = 6 ,b = 1$
$S_{APC } = \frac{AC.PC}{2}.sin120^\circ \Leftrightarrow S_{APC } = \frac{15\sqrt{3}}{4}$
$S_{APC } = \frac{AP.h}{2} \Leftrightarrow\frac{(a + b).h}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{7.h}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \Rightarrow h = \frac{15\sqrt{3}}{14}$
$$ a = 6 , b = 1 , h = \frac{15\sqrt{3}}{14}$$