Стереометрична задача

[uchenik75]

Всички стени на паралелепипед са ромбове с остър ъгъл 60° и страна а . Да се намерят лицата на диагоналните му сечения.
Според мен едното сечение е правоъгълник, а другото е успоредник, като равнината на успоредника е перпендикулярна на равнината на основата ?! но нямам доказателство...

[ammornil]

Моето предложение за решение е следното:
Нека означим долната основа на паралелепипеда с[tex]ABCD[/tex] и съответстващите върхове на горната основа са [tex]A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]. По условие всички стени (основи и околни) са еднакви ромбове, следователно околоните ръбове на паралелепипеда са равни на основните му ръбове.

Да разгледаме една стена на паралелепипеда, например основата ABCD. Нека диагоналите AC и BD се пресичат в точка О. В точка О диагоналите са взаимно перпендикулярни и се разполовяват.

Да разгледаме [tex]\Delta ADC[/tex]. Той е равнобедрен. [tex]DO \bot AC[/tex], следователно е височина, а също медиана и ъглополовяща. Следователно[tex]\angle ADO=60^\circ[/tex].

Да разгледаме [tex]\Delta ADB[/tex]. Той е равнобедрен, но ъгълът пти основата е [tex]60^\circ[/tex], следователно е равностранен, от където следва, че диагоналът DB е равен на основния ръб, тоест [tex]DB=a[/tex].

Да разгледаме тялото [tex]ABDA_{1}[/tex]. Това е правилна триъгълна пирамида, защото всичките му страни са равни. От тук следва, че върхът [tex]A_{1}[/tex] се проектира в центъра на основата, който от своя страна е медицентъра на [tex]\Delta ADB[/tex], нека го отбележим с точка М. [tex]A_{1}M\bot AO[/tex]. От свойства на медицентъра знаем, че [tex]\frac{AM}{ MO}=\frac{2}{1 }[/tex]. За медианата в равностранен триъгълник (в случая AO) знаем, че: [tex]AO=\frac{a\sqrt{3} }{ 2}[/tex], следователно [tex]AM=\frac{2}{3 }.AO=\frac{a\sqrt{3} }{ 3}[/tex].

[tex]\Delta AMA_{1}[/tex] е првоъгълен, в който са ни известни хипотенузата (околен ръб на паралелепипеда) и единия катет (отсечка АМ). Съгласно вариация на Питагорова теорема имаме [tex]|A_{1}M|^{2}=|AA_{1}|^{2} - |AM|^{2}[/tex], от където чрез заместване и коренуване на двете страни получаваме [tex]A_{1}M=\frac{a\sqrt{3} }{ 6}[/tex]. Това е височината на паралелепипеда.

Ъгълът между околен ръб и равнината на основата е равен на ъгъла заключен между околния ръб [tex]AA_{1}[/tex] и ортогоналната му проекция в равнината- отсечката АМ. Синусът на този ъгъл (нека го означим с гръцката буква ФИ) е равен на отношението между височината на паралелепипеда и околния ръб, а именно [tex]sin\varphi =\frac{|A_{1}M|}{|AA_{1}| }=\frac{\sqrt{3} }{ 6}[/tex]

Точка [tex]O_{1}[/tex] е пресечната точка на диагоналите в горнта основа. Нейната ортогонална проекция в долната основа е точка N, която лежи върху диагонала AC, защото той е проекцията на диагонала [tex]A_{1}C_{1}[/tex] в равнината на долната основа. [tex]OO_{1}[/tex] е успоредна и равна на околния ръб на паралелепипеда. Ъгълът между нея и ортогоналната й проекция е [tex]\varphi[/tex]. Но [tex]O_{1}N\bot p.(ABCD) => O_{1}N\bot BD[/tex] и [tex]NO\bot BD[/tex], слеодвателно съгласно Теорема за трите перпендикуляр отсечката [tex]O_{1}O\bot BD[/tex], но [tex]O_{1}O || D_{1}D || B_{1}B => B_{1}B\bot BD[/tex].
Фигурата [tex]BDD_{1}B_{1}[/tex] е квадрат, защото всичките й страни са равни, две по две срещулежащите са успоредни и две съседни страни са взаимно перпендикулярни ([tex]B_{1}B\bot BD[/tex]). Лицето на това сечение е [tex]S_{BB_{1}D_{1}D}=|BD|.|BB_{1}|=a^{2}[/tex].

(следва продължение)

[uchenik75]

и аз дотук съм стигнал, т.е остава ми да докажа, че лицето на BD[tex]D_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex] e BD по D[tex]D_{1 }[/tex], т.е . че това сечение е правоъгъник

[ammornil]

(извинете за прекъсването, моля вижте промените по-горе!)
Диагоналът АС може да бъде изчислен по много начини, например чрез косинусова теорема за него като страна в тръгълника ADC. [tex]|AC|^{2}=|AD|^{2}+|DC|^{2}-2.|AD|.|DC|.cos120^\circ[/tex], от където след заместване и преобразувания намираме [tex]AC=a.\sqrt{3}[/tex].

Диагоналното сечение [tex]ACC_{1}A_{1}[/tex] е успоредник, защото по условие [tex]AA_{1}||CC_{1}, AA_{1}=CC_{1}[/tex], а [tex]AC||A_{1}C_{1}, AC=A_{1}C_{1}[/tex], като съответни диагонали на основите на паралелепипеда. Лицето на това диагонално сечение се определя с израза [tex]S_{ACC_{1}A_{1}}=|AC|.|AA_{1}|.sin\varphi = a.\sqrt{3}.a.\frac{\sqrt{3} }{ 6} =\frac{a^{2}}{2 }[/tex]