правилна 4-ъгълна пирамида

[RSK]

Всички ръбове на правилна 4-ъгълна пирамида са равни. През точка, лежаща на околен ръб е построена права, [tex]\bot[/tex] на този ръб и пресичаща височината на пирамидата в средата й. Отсечката от тази права, лежаща в пирамидата е 6см. Да се намери ръбът на пирамидата.

[ptj]

Задачата се свежда до правоъгълен равнобедрен триъгълник с хипотенуза (околен ръб на пирамидата) [tex]a[/tex], в която центъра на бедрото е 6 см разстояние от хипотенузата. Отговора е [tex]a=24[/tex].

[ganka simeonova]

Задачата се свежда до правоъгълен равнобедрен триъгълник с хипотенуза (околен ръб на пирамидата) [tex]a[/tex], в която центъра на бедрото е 6 см разстояние от хипотенузата. Отговора е [tex]a=24[/tex].

Опасявам се, че нищо не рзбрах от обяснението ти

[ammornil]

Моля за повече пояснения. Според мен отсечката, лежаща в пирамидата е от околен ръб до диагонал на основата...

[ammornil]

Аз опитах следното решение (но нещо не виждам края...):

Нека върховете на пирамидата означим с ABCDM, където върхът М не лежи в равнината на основата. По условие всички ръбове са равни (нека условино кажем равни на "а") и пирамидата е правилна. Преди да разгледаме допълнителното построение, нека разгледаме самата пирамида. Ако пресечната точка на диагоналите на основата е точка О, то ортогоналната проекция на върха М ще е точно в тази точка, или с други думи МО е височина на пирамидата. Доказателство за това е, че околните ръбове са равни, следоватлно и техните ортогонални проекции в равнината трябва да са равни, следователно ортогоналната проекция на върхът М лежи на равни разстояния от върховете на основата, а тази точка е точно средата на диагоналите. И така МО е височина. Знаем, че диагоналите на основата имат дължина [tex]AC=BD=a.\sqrt{2}[/tex]. Половината диагонал има дължина [tex]AO=BO=CO=DO=\frac{a.\sqrt{2} }{ 2}[/tex]. [tex]\Delta BMO[/tex] е правоъгълен ([tex]MO\bot BO[/tex]), следователно съгласно Питагорова Теорема: [tex]|BM|^{2}=|MO|^{2}+|BO|^{2}[/tex]. Ако заместим [tex]BM=a, BO=\frac{a.\sqrt{2} }{ 2}[/tex] и изразим MO, ще мопучим че [tex]MO=\frac{a.\sqrt{2} }{ 2}[/tex]. Пряко следствие на това, е фактът че [tex]\Delta BMO[/tex] е равнобедрен (BO=OM) и тъй като е правоъгълен, ъглите при основата му са по [tex]45^\circ[/tex] или [tex]\angle MBO = \angle BMO= 45^{ \circ}[/tex]

Нека средата на височината на пирамидата е точка Q. Следователно [tex]MQ=OQ=\frac{a.\sqrt{2} }{ 4}[/tex].

От точка Q към отсечката BM може да се построи точно един перпендикуляр, и това е точно търсения (построения по условие) перпендикуляр от околния ръб, който пресича височината в средата й. Нека пресечната точка с околния ръб е точка P. [tex]QP\bot PM[/tex] по построение (съгласно условието). [tex]\Delta PMQ[/tex] е правоъгълен, но острият ъгъл PMQ e [tex]45^\circ[/tex], следователно триъгълникът е равнобедрен, двата катета са равни, тоест [tex]MQ=QP[/tex].
PQ лежи в равнината (DMB), защото P и Q са точки от прави, лежащи в тази равнина, следователно продължението й би следвало да пресече околния ръб DM да кажем в точка N. И тук идва противоречие. Защото ако ъгъл OMB e 45 градуса, то ъгъл BMD следва да е 90 градуса, понеже МО е височина, медиана и ъглополовяща в триъгълник DBM. Да, обаче и ъгъл NPM е 90 градуса по построение (по условие) и излезе, че в триъгълник NPM има два прави ъгъла !?
Отговорът следва да бъде, че точка N не принадлежи на правата DM, следователно PQ е успоредна на MD. Следователно точка N лежи върху диагонала BD. По условие NP=6.

Триъгълник BPN е правоъгълен, с остър ъгъл 45 градуса, следователно катетите са равни, тоест PN=PB=6. Хипотенузата (според Питагорова теорема) е [tex]|BN|^{2}=36+36, BN=6.\sqrt{2}[/tex]

И тук не мога да намеря метрична зависимост, за да свържа деденото и търсеното... !?

[ganka simeonova]

Лелее, лятото ми се отразява зле . Няколко пъти упорито правя триъгълна пирамида. Чак сега видях, че е четириъгълна. Само че, аз получих за ръба 8.

[ganka simeonova]

Ето чертеж:

[ammornil]

извинете... грешка в поста

[ganka simeonova]

Защо точка L разполовява половината на диагонала. Така излиза, че OL е средна отсечка в тръгълник CP(нещо си неозначено). Но защо?

Ръба не е 12, защото OL не е 6. КL=6.

[ammornil]

Да, да видях, благодаря
схванах идеята.

[ptj]

Задачата се свежда до правоъгълен равнобедрен триъгълник с хипотенуза (околен ръб на пирамидата) [tex]a[/tex], в която центъра на бедрото е 6 см разстояние от хипотенузата. Отговора е [tex]a=24[/tex].

Опасявам се, че нищо не рзбрах от обяснението ти

Използваш , че една точка е на равно разстояние от краищата на отсечка, тогава и само тогава, когато тя лежи на симетралата й. Ако приложиш горното към равенствата на околните ръбове, ще получиш, че пресечената точка на двата диагонала на основата ги разполовява и тази точка е ортогонална проекция на 5-тия връх (отсечката свързваща върха и вече спомената точка е перпендикулярна на две прави от равнината на основата). От това, че основата е ромб следва че диагоналите и са перпендикулярни. От друа страна с питагорова теорема и равенството на околните ръбове се показва, че половинките диагонали на основата са равни, т.е. тя е квадрат.
После лесно се вижда, че половината диагонал е равен на височата на пирамидата и е точно [tex]\frac{a}{\sqrt{2} }[/tex] . Останалото би трябвало да е ясно.

П.П. Стига се до Питагорова теорема [tex](a-6)^2+(a-6)^2= (\frac{a}{2\sqrt{2} })^2[/tex]. Отговора е [tex]a=8[/tex]. Не бях прочел внимателно условието.

[ganka simeonova]

Аза мисля, че е достатъчно само да се разгледат подобните триъгълници AKL; APC с k=3/4

[ammornil]

Това, че основата е квадрат не е ли характеристика на правилна четиръъгълна пирамида? Или аз не съм разбрал...

[Martin Nikovski]

Ами... и аз преди няколко месеца бях стигнал самостоятелно до този извод... и на едно контролно реших, че щом основата е квадрат, то пирамидата е правилна... Да, ама не!
Дори и основата да е правилен многоъгълник, това не е достатъчно пирамидата да е правилна. Освен основните ръбове, равни помежду си трябва да бъдат и околните ръбове. Също така за правилна пирамида са изпълнени следните твърдения:
- Центърът на основата съвпада с ортогоналната проекция на върха на пирамидата върху равнината на основата.
- Околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
- Апотемите на пирамидата са равни.
- Околните ръбове образуват равни ъгли с равнината на основата
- Околните ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата
- Околните стени образуват равни ъгли с равнината на основата
...

Пирамида.

Drawing.jpg (9.43 KiB) Прегледано 1598 пъти

Какво мислиш за тази пирамида с основа квадрат? Тя правилна ли е?