три точки, вектори

[Гост]

Имам дадени точките A B M за които е в сила условието AM = k.MB (векторите им). Трябва да докажа, че са от една права което горе долу ми е ясно, но трябва да докажа и че за случайна точка О е изпълнено равенството OM = (OA + k.OB)/(1+k)

[Nathi123]

Доколкото разбирам по условие [tex]\vec{AM}=k \vec{MB}[/tex](1).Тогава от определението за произведение на вектор с число следва ,че точките А,М и В са от една права .Ако О е произволна точка от равнината ( пространството- разсъжденията са аналогични; и забележка в математиката няма,, случайни" точки) ,то [tex]\vec{AM}= \vec{AO}+ \vec{OM}; \vec{MB}= \vec{MO} + \vec{OB}[/tex]; равенство (1) добива вида:
[tex]\vec{AO}+ \vec{OM} =k( \vec{MO} + \vec{OB}) \Leftrightarrow \vec{OM} + \vec{AO}=k \vec{MO}+k \vec{OB} \Leftrightarrow (k+1) \vec{OM}= \vec{OA}+k \vec{OB} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\vec{OM}= \frac{ \vec{OA} }{k+1}+ \frac{k}{k+1} \vec{OB}[/tex].
( използваме също,че [tex]\vec{AO}=- \vec{OA}; \vec{MO} =- \vec{OM}[/tex]).