Преобразуване на ирационални изрази

[Гост]

1. Да се определят допустимите стойности на х в израза:
[tex]\sqrt[4]{ x^{ 4 } - 25 x^{2 } }[/tex]

2. Да се извършат действията:
( [tex]\sqrt[3]{3 - \sqrt[3]{2} }[/tex])[tex]^{2 }[/tex] + 2 [tex]\sqrt[6]{108}[/tex]

3. Да се рационализират дробите на знаменателите:
а/ [tex]\frac{1}{ \sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{6} }[/tex]

б/ [tex]\frac{15}{ \sqrt[3]{49} - 2 \sqrt[3]{7} +4 }[/tex]

в/ [tex]\frac{5}{ \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9} }[/tex]

[ammornil]

1. Да се определят допустимите стойности на х в израза:
[tex]\sqrt[4]{ x^{ 4 } - 25 x^{2 } }[/tex]
ДМ: [tex]x^{ 4 } - 25 x^{2 } \ge 0 \Leftrightarrow x^2(x^2-25) \ge 0 \Leftrightarrow x^2(x-5)(x+5) \ge 0 \Rightarrow x \in (- \infty; -5] \cup \{0\} \cup [5;+ \infty)[/tex]

3. Да се рационализират знаменателите на дробите:
а/ [tex]\frac{1}{ \sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{6} }[/tex]
използваме, че [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{ \sqrt{\sqrt{7}} - \sqrt{\sqrt{6}} }.\frac{ \sqrt{\sqrt{7}} + \sqrt{\sqrt{6}}}{ \sqrt{\sqrt{7}} + \sqrt{\sqrt{6}} }=\frac{ \sqrt{\sqrt{7}} + \sqrt{\sqrt{6}}}{ (\sqrt{\sqrt{7}})^{2} - (\sqrt{\sqrt{6}})^2 }=\frac{ \sqrt[4]{7}+ \sqrt[4]{6}}{ \sqrt{7} -\sqrt{6} }[/tex]

Повтаряме същата логика, този път за да рационализираме новия знаменател.
[tex]=\frac{ \sqrt[4]{7}+ \sqrt[4]{6}}{ \sqrt{7} -\sqrt{6} }.\frac{ \sqrt{7} +\sqrt{6} }{ \sqrt{7} +\sqrt{6} }=\frac{ (\sqrt[4]{7}+ \sqrt[4]{6})(\sqrt{7} +\sqrt{6})}{ (\sqrt{7})^2 -(\sqrt{6})^2 } = \frac{ (\sqrt[4]{7}+ \sqrt[4]{6})(\sqrt{7} +\sqrt{6})}{7 -6 } =(\sqrt[4]{7}+ \sqrt[4]{6})(\sqrt{7} +\sqrt{6})[/tex]

б/ [tex]\frac{15}{ \sqrt[3]{49} - 2 \sqrt[3]{7} +4 }[/tex]
използваме, че [tex]a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab-b^{2})[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{15}{ (\sqrt[3]{7})^{2} - \sqrt[3]{7}.2 +2^{2} }.\frac{\sqrt[3]{7}+2}{\sqrt[3]{7}+2} = \frac{15.(\sqrt[3]{7}+2)}{ (\sqrt[3]{7})^{3}+2^{3} } = \frac{15.(\sqrt[3]{7}+2)}{ 7+8 }=\frac{\cancel{15}.(\sqrt[3]{7}+2)}{ (\cancel{15}}=\sqrt[3]{7}+2[/tex]

в/ [tex]\frac{5}{ \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9} }[/tex]
използваме, че [tex]a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab-b^{2})[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{5}{ (\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2}.\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 }.\frac{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}=\frac{5.(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})}{(\sqrt[3]{2})^{3}+(\sqrt[3]{3})^{3}}=\frac{5.(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})}{2+3}=\frac{\cancel{5}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})}{\cancel{5}}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}[/tex]

[tex][/tex]

[ammornil]

2. Да се извършат действията:
( [tex]\sqrt[3]{3 - \sqrt[3]{2} }[/tex])[tex]^{2 }[/tex] + 2 [tex]\sqrt[6]{108}[/tex]

Развитие на изразът може да се даде по следния начин:
[tex]=\sqrt[3]{(3-\sqrt[3]{2})^{2}}+2.\sqrt[6]{2^{2}.3^{3}}=\sqrt[3]{9-6\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}+2.2^{\frac{2}{6}}.3^{\frac{3}{6}}=\sqrt[3]{9-6\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}+2\sqrt[3]{2}\sqrt{3}[/tex]

Може би е по-добре първата част на израза да остане непроменена:
[tex]=\sqrt[3]{(3-\sqrt[3]{2})^{2}}+2.\sqrt[6]{2^{2}.3^{3}}=\sqrt[3]{(3-\sqrt[3]{2})^{2}}+2.2^{\frac{2}{6}}.3^{\frac{3}{6}}=\sqrt[3]{((\sqrt{3})^2-\sqrt[3]{2})^{2}}+2\sqrt[3]{2}\sqrt{3}[/tex]

Нещо не ми харесва тук. Допускам, че има някоя рационалаизция, която ми убягва. Ако в първия корен не беше 3, ами корен втори от три, щеше да има смисъл следното преобразувание: [tex]2\sqrt[3]{2}\sqrt{3}=(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt[3]{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt[3]{2})^{2}[/tex] последвано евентуално от изнасяне на общ множител, но както е даден изразът не мога да открия повтарящ се модел. Съжалявам, че не мога да ти бъда от помощ със задача 2.

[Гост]

[tex]\sqrt[3]{128}[/tex]+[tex]\frac{1}{5} \sqrt[3]{250}[/tex]-4[tex]\sqrt[3]{16}[/tex]

[S.B.]

[tex]\sqrt[3]{128}[/tex]+[tex]\frac{1}{5} \sqrt[3]{250}[/tex]-4[tex]\sqrt[3]{16}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{128} + \frac{1}{5} \sqrt[3]{250} - 4 \sqrt[3]{16} =[/tex]

[tex]= \sqrt[3]{2.64} + \frac{1}{5} \sqrt[3]{2.125} - 4 \sqrt[3]{2.8}=[/tex]

[tex]= \sqrt[3]{2. 4^{3 } } + \frac{1}{5} \sqrt[3]{2. 5^{3 } } - 4 \sqrt[3]{2. 2^{3 } } =[/tex]

[tex]= 4 \sqrt[3]{2} + \frac{5}{5} \sqrt[3]{2} - 8 \sqrt[3]{2} =[/tex]

[tex]= -3 \sqrt[3]{2}[/tex]