Полиноми, деление

[Гост]

Опитвам се и с двата метода, но степента е просто твърде голяма, за да го светна правилно

[Davids]

Ами очаквано, понеже обичайните методи не са предвидени за човешко смятане на ръка 200+ пъти.
Затова пък можем да подходим умно, водени от ключовото наблюдение, че всичките степени на променливата са последователни степени на тройката. Значи ще търсим домино ефект (или поне така ни подсказва интуицията). При тази задача всяка подточка си иска отделен подход, макар и да са по идея подобни. Ще демонстрираме за а), където търсим $r(x)$ в представянето $A(x) = q(x)\cdot\left(x-1\right) + r(x)$.

За целта ще представим

$A(x) = (x^{243} - 1) + (x^{81} - 1) + (x^{27} - 1) + (x^9-1) + (x^3 - 1) + (x - 1) + 7$

и ще включим доминото в действие, водени индуктивно от факта, че:

$x^{243} - 1 = \left(x^{81}\right)^3 - 1 = (x^{81} - 1)(x^{162} + x^{81} + 1)$

В случая десният множител не ни интересува, някакъв полином е, интересува ни, че $x^{81} - 1$ излиза като общ множител, което ни позволява да групираме със следващите скобки в израза за $A(x)$. Аналогичната схема прилагаме чак докато не изнесем $(x-1)$ окончателно пред скоби и накрая ни остане единствено свободния член $7$ да виси самотен отзад. Именно той е и търсеният остатък, т.е. $r(x) = 7$.
________
б) може да се реши абсолютно аналогично, само ползвайки формулата за $a^3 + b^3$. Обаче аз ще се възползвам от втората подточка, за да демонстрирам и едно по-некъртовско и елегантно решение. Ще представим, аналогично,

$A(x) = (x^{243} + 1) + (x^{81} + 1) + (x^{27} + 1) + (x^9+1) + (x^3 + 1) + (x + 1) - 5$

и сега просто ще съобразим, че всеки двучлен в скоби има $x = -1$ за корен (поради нечетните степени), което означава, че се дели без остатък на $(x + 1)$. И така бързо и лесно стигаме до извода, че остатъкът е $r(x) = -5$.
________
А в) решаваме подобно, уповавайки се на факта, че $(x^2 - 1) = (x+1)(x-1)$, т.е. ще искаш такива групички, от които да можеш да изкараш такъв общ множител пред скоби.

Скрит текст: покажи

Hint: По подобна логика, отговорът е $r(x) = 1 + 6x$

[Гост]

[tex]\begin{center}
\begin{tabular}{lllll}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{} & \multicolumn{1}{l|}{1} & \multicolumn{1}{l|}{2} & \multicolumn{1}{l|}{-5} & \multicolumn{1}{l|}{-6} \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{-1} & \multicolumn{1}{l|}{1} & \multicolumn{1}{l|}{1} & \multicolumn{1}{l|}{-6} & \multicolumn{1}{l|}{0} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}[/tex]

[nikola.topalov]

За a) и б) също така можем да използваме теоремата на Безу. Полиномът [tex]A(x)[/tex] може да бъде представен като [tex]A(x)=(x-p)Q(x)+R(x)[/tex] и очевидно [tex]A(p)=R(x)[/tex]. В а) имаме [tex]p=1[/tex] и за остатъка [tex]R(x)[/tex] получаваме [tex]R(x)=7[/tex]. Напълно аналогично в б) намираме [tex]R(x)=A(-1)=-5[/tex].