Ъгъл между два ръба.

[Гост]

Здравейте,
имам една молба. Не изкам решение, а насока. Става дума за намиране на ъгъла междуръбовете MN и PQ в правилната триъгълна прирамида MNPQ. Аз със знания от стереометрия виждам, че е 90 градуса. Но не е там въпросът. Трябва да я реша не така, а с вектори. И запецвам в частта с определянето на подходящата векторна база. Иначе, предполагам, че после ще трябва да намеря косинуса между двата вектора и той ще е 0, за да излезе търсеният ъгъл 90 градуса. Затова моля за помощ в определянето на векторната база..

[nikola.topalov]

Подходяща векторна база за твоята задача би била [tex]\{\overrightarrow{PO},\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{MN}\}[/tex], където [tex]O[/tex] е ортогоналната проекция на върха [tex]Q[/tex] на тетраедъра върху равнината [tex](MNP)[/tex].

Всъщност условието на задачата е еквивалентно на условието "Да се докаже теоремата за трите перпендикуляра с вектори". Нека разглеждаме равнината [tex]\lambda[/tex] и ненулев вектор [tex]\vec{u}\not\perp\lambda[/tex]. Нека [tex]\vec{v}\parallel\mathrm{proj}_{\lambda}\vec{u}[/tex], където [tex]\mathrm{proj}_{\lambda}\vec{u}[/tex] е векторната проекция на [tex]\vec{u}[/tex] върху равнината [tex]\lambda[/tex]. Ако [tex]\vec{w}[/tex] е вектор, за който [tex]\vec{w}\perp\vec{v}[/tex], то и [tex]\vec{w}\perp\vec{u}[/tex].
Пускам и доказателство за това, в случай че не успееш сам:

Скрит текст: покажи

От [tex]\vec{v}\parallel\mathrm{proj}_{\lambda}\vec{u}[/tex] следва съществуването на единствено реално число [tex]\mu[/tex], такова че
[tex]\mathrm{proj}_{\lambda}\vec{u}=\mu\vec{v}[/tex]. Нека [tex]\vec{p}=\mu\vec{v}-\vec{u}[/tex]. Понеже [tex]\vec{p}\perp\lambda[/tex], то [tex]\vec{p}\cdot\vec{w}=0=(\mu\vec{v})\cdot\vec{w}-\vec{u}\cdot\vec{w}[/tex]. Знаем, че [tex]\vec{v}\perp\vec{w}[/tex], откъдето [tex](\mu\vec{v})\cdot\vec{w}=0[/tex]. И така имаме [tex]-\vec{u}\cdot\vec{w}=0[/tex], тоест [tex]\vec{u}\perp\vec{w}[/tex]

[Гост]

Много благодаря