Параметрично квадратно уравнение

[Меди]

Здравейте! Бих искал да ви помоля за съдействие със следната параметрична задача:

Решете уравнението, в което $x$ е неизвестно:
$$x^2+2ax-3a^2=0$$ Дискриминантата е $D=4a^2\ge0$ за $\forall a$. Следователно трябва да разгледаме случаите $D>0$ и $D=0$.
1. При $a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, т.е. сме в първия случай, корените са ми $x_{1,2}=-a\pm2|a|$.
2. При $a=0$, т.е. сме във втория случай, $x=0$.
Покрили сме всички възможни стойности, които параметърът може да приема. В отговорите са написали $-3a;a$, каквото и да трябва да означава това. Аз, естествено, се опитах да разбера какво са имали предвид и къде е възможно да съм объркал. Ако разкрием модула от първия случай с $a$, ще получим тези числа. Но това просто не е вярно разкриване, защото $|a|=a$ само при $a\ge0$, а в интервала имаме и отрицателни числа.

Благодаря ви!

[ammornil]

Здравейте! Бих искал да ви помоля за съдействие със следната параметрична задача:

Решете уравнението, в което $x$ е неизвестно:
$$x^2+2ax-3a^2=0$$ Дискриминантата е $D=4a^2\ge0$ за $\forall a$. Следователно трябва да разгледаме случаите $D>0$ и $D=0$.
1. При $a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, т.е. сме в първия случай, корените са ми $x_{1,2}=-a\pm2|a|$.
2. При $a=0$, т.е. сме във втория случай, $x=0$.
Покрили сме всички възможни стойности, които параметърът може да приема. В отговорите са написали $-3a;a$, каквото и да трябва да означава това. Аз, естествено, се опитах да разбера какво са имали предвид и къде е възможно да съм объркал. Ако разкрием модула от първия случай с $a$, ще получим тези числа. Но това просто не е вярно разкриване, защото $|a|=a$ само при $a\ge0$, а в интервала имаме и отрицателни числа.

Благодаря ви!

[tex]x^2+2ax-3a^2=0, D=a^{2}-(-3a^{2})=4a^{2}, \sqrt{D}=2|a|[/tex] [tex]\Rightarrow x_{_{1,2}}=-a\pm2|a|[/tex]
Знакът на модула не влияе на стойносттите на корените, тъй като аргументът [tex]2|a|[/tex] се взима веднъж с минус и веднъж с плюс. За всички стойности на "а", корените ще имат вида [tex]\begin{cases} x_{_{1}}=-a-2a=-3a \\ x_{_{2}}=-a+2a=a \end{cases}[/tex]

Няма нужда да накъсваш интервала. Просто при а=0 имаме два равни по стойност корена, но това е частен случай и не е причина да разделяме решенията.

[tex][/tex]