Решаване на триъгълник

[Гост]

Здравейте, ще се радвам, ако успеете да ми помогнете!

Зад. Намерете лицето на триъгълник ABC със страни a = 15 см, b = 13 см и медиана към страната c = 7 см.

[ammornil]

Решението, което мога да Ви предложа, е бакалското: с директно прилагане на формули за решаване на произволен триъгълник. Може би друг потребител с повече опит ще предложи по-елегантен подход...

Зад. Намерете лицето на триъгълник ABC със страни a = 15 см, b = 13 см и медиана към страната c = 7 см.
[tex]\triangle ABC; AC=b=13cm; BC=a=15cm; M \in AB; AM=MB; CM=m_{_{C}}=7cm[/tex]
[tex]S_{_{ ABC}}=?[/tex]

Медиана в произволен триъгълник (нека [tex]AB=c[/tex]):
[tex]m_{_{C}}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}} \Rightarrow 4m_{_{C}}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2} \Rightarrow c^{2}=2a^{2}+2b^{2}-4m_{_{C}}^{2}[/tex]

[tex]c^{2}=2.15^{2}+2.13^{2}-4.7^{2}=2.225+2.169-4.49=592=2.2.2.2.37 \Rightarrow AB=c=4\sqrt{37} cm[/tex]

[tex]P_{_{ABC}}=a+b+c=28+4\sqrt{37}=4(7+\sqrt{37})cm[/tex].
[tex]p_{_{ABC}}=\frac{P_{_{ABC}}}{2}=2(7+\sqrt{37})=14+2\sqrt{37} \ cm[/tex]

Херонова формула за лице на произволен триъгълник: [tex]S_{_{ABC}}=\sqrt{p.(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

[tex]\Rightarrow S_{_{ABC}}=\sqrt{(14+2\sqrt{37}).(14+2\sqrt{37}-15)(14+2\sqrt{37}-13)(14+2\sqrt{37}-4\sqrt{37})}[/tex] [tex]\Leftrightarrow S_{_{ABC}}=\sqrt{(14+2\sqrt{37}).(14-2\sqrt{37}).(2\sqrt{37}-1)(2\sqrt{37}+1)}[/tex].

Така подредени, два по два, изразите в скобите са формули за съкратено умножение.
[tex]S_{_{ABC}}=\sqrt{[14^{2}-(2\sqrt{37})^{2}].[(2\sqrt{37})^{2}-1^{2}]}=\sqrt{(196-4.37)(4.37-1)}=\sqrt{(196-148)(148-1)}=\sqrt{48.147}=\sqrt{2^{4}.3.3.7^{2}}=2^{2}.3.7=84 cm^{2}[/tex]




[tex][/tex]

[S.B.]

Здравейте, ще се радвам, ако успеете да ми помогнете!

Зад. Намерете лицето на триъгълник ABC със страни a = 15 см, b = 13 см и медиана към страната c = 7 см.

От формулата за медиана:
$$ m_{c } ^{2 } = \frac{1}{4} ( 2a^{2 } + 2 b^{2 }- c^{2 } )$$
където $a = 15$ см , $b = 13$ см и [tex]m_{c } = 7[/tex]см намираш страната $c$
Чрез формулата на Херон:
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
където [tex]p = \frac{a + b + c}{2}[/tex] намираш лицето

Успех!

[S.B.]

Я! С колегата ammornil сме писали заедно!

[Гост]

Благодаря много!!

[S.B.]

Здравейте, ще се радвам, ако успеете да ми помогнете!

Зад. Намерете лицето на триъгълник ABC със страни a = 15 см, b = 13 см и медиана към страната c = 7 см.

Без заглавие - 2021-11-27T152629.001.png (265.17 KiB) Прегледано 442 пъти

Още един поглед върху задачата с малко сметки:
Продължавам медианата $CM$ до т.[tex]C_{1 }[/tex],така,че [tex]CM = M C_{1 } = 7[/tex]
[tex]\triangle AMC \cong \triangle MB C_{1 }[/tex] (първи признак) [tex]\Rightarrow BC_{1 } = AC = 13[/tex]
[tex]S_{ABC } = S_{C C_{1 }B }[/tex]
За [tex]\triangle C C_{1 }B[/tex] прилагам Херонова формула:
[tex]p = 21[/tex]
[tex]S = \sqrt{21.6.8.7} = \sqrt{ 7^{2 }. 3^{2 }. 4^{2 } } = 84[/tex]