Лице на трапец

[S.B.]

Да се определи лицето на трапеца $ABCD ,( AB || CD , AB > CD)$ с диагонали $AC = 26 см, BD = 30 см$ и дължина на отсечката съединяваща средите на основите $14$ см.

[nikola.topalov]

От теоремата на Щайнер имаме, че средите на двете основи и пресечната точка на диагоналите на трапеца лежат на една права. Нека [tex]M[/tex], [tex]N[/tex], [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] са средите съответно на [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CD[/tex] и [tex]DA[/tex]. Тогава [tex]MNPQ[/tex] е успоредник, чието лице е два пъти по-малко от лицето на трапеца (теорема на Вариньон). Така задачата се свежда до намиране лицето на този успоредник. За него знаем, че [tex]MQ=NP=15[/tex], [tex]QP=MN=13[/tex] и [tex]MP=14[/tex]. С Херонова формула намираме [tex]S_{MNP}=84=\dfrac{1}{2}S_{MNPQ}[/tex], което означава, че [tex]S_{MNPQ}=168[/tex] и [tex]S_{ABCD}=336[/tex].

[Nathi123]

Нека М и N са средите на АВ и CD, а Q и Р са среди съответно на ВС И AD . Като се използва средна отсечка в триъгълник се доказва,че MQNP е успоредник със страни съответно половината от дадените диагонали и успоредни на диагоналите.Това означава,че ъгъл на успоредника е равен на ъгъла между диагоналите.
Значи лицето на трапеца ще намерим като S=[tex]\frac{1}{2}AC.BDsin \angle(AC,BD)=\frac{1}{2}AC.BDsin \varphi[/tex].
От [tex]\triangle MQN[/tex] и кос т-ма определяме,че cos[tex]\angle MQN= \frac{13 ^{2 }+15 ^{2 }-14 ^{2 } }{2.13.15}= \frac{33}{65} \Rightarrow sin \angle MQN= \frac{56}{65}[/tex].
[tex]\Rightarrow S _{ABCD }= \frac{30.26.56}{2.65} =336[/tex] см[tex]^{2 }[/tex].

[S.B.]

Без заглавие - 2021-11-28T215209.828.png (280.93 KiB) Прегледано 451 пъти

Моето решение:
Подлагам на транслация с вектор [tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $BD$ при която [tex]D \rightarrow C , B \rightarrow B_{1 }[/tex]
Подлагам на транслация с бектор [tex]\vec{NC}[/tex] отсечката $MN$ при която [tex]М \rightarrow M_{1 } ,N \rightarrow C[/tex]
[tex]\triangle AB_{1 }C[/tex] е равнолицев на трапеца $ABCD$
[tex]C M_{1 }[/tex] е медиана защото:
[tex]A B_{1 } = AB + B B_{1 } \Leftrightarrow A B_{1 } = AB + CD[/tex]
[tex]A M_{1 } = AM + M M_{1 } \Leftrightarrow A M_{1 } = \frac{AB}{2} + \frac{CD}{2} \Rightarrow A M_{1 } = \frac{AB + CD}{2} = \frac{A B_{1 } }{2}[/tex]
Продължавам медианата [tex]CM_{1 }[/tex] до точка [tex]C_{1 }[/tex] така ,че [tex]C M_{1 } = M_{1 } C_{1 }[/tex]
[tex]\triangle AC M_{1 } \cong \triangle M_{1 } C_{1 } B_{1 }[/tex] (първи признак)[tex]\Rightarrow C_{1 } B_{1 } = AC[/tex]
[tex]S_{A B_{1 }C } = S_{C C_{1 } B_{1 } }[/tex]
За [tex]\triangle C C_{1 } B_{1 }[/tex] прилагам Херонова формула:
[tex]p = \frac{26 + 30 + 28}{2} = 42[/tex]
[tex]S_{ CC_{1 } B_{1 } } = \sqrt{42.16.12.14} = \sqrt{ 7^{2 } . 6^{2 }. 4^{2 }. 2^{2 } } = 336[/tex]
$$S_{ABCD } = 336$$