Сравняване на логаритми

[Гост]

Моля Ви, някой да ми обясни как да сравня логаритми с различни основи и еднакви знаци като тези в задачите. Благодаря, предварително

mat.png (8.39 KiB) Прегледано 2564 пъти

[nikola.topalov]

В [tex]19.[/tex] задача ще докажем, че [tex]\dfrac{\log_5 9}{\log_7 6}>1[/tex]. Имаме [tex]\log_7 6<\log_5 6[/tex] и следователно [tex]\dfrac{1}{\log_7 6}>\dfrac{1}{\log_5 6}[/tex]. И така имаме [tex]\dfrac{\log_5 9}{\log_7 6}>\dfrac{\log_5 9}{\log_5 6}=\log_6 9>\log_6 6=1[/tex]. Това означава, че [tex]\log_5 9>\log_7 6[/tex].

Да видим сега [tex]20.[/tex] задача. Допускаме, че [tex]\log_5 7>\log_7 5[/tex]. Имаме [tex]\log_5 7=\dfrac{1}{\log_7 5}[/tex] и следователно остава да проверим дали [tex]1>\log_7^2 5[/tex]. Но [tex]\log_7^2 5<\log_7^2 7=1[/tex], което означава, че допуснатото от нас е вярно.

В [tex]21.[/tex] задача нека допуснем, че [tex]\log_2 9<\log _9 8[/tex]. Умножаваме и двете страни на неравенството с [tex]\log_9 8[/tex] и получаваме [tex]3<\log_9^2 8[/tex]. Но [tex]\log_9^2 8<\log_9^2 9=1[/tex], тоест допуснатото от нас не е вярно и значи [tex]\log_2 9>\log _9 8[/tex].

Остана да разгледаме [tex]22.[/tex] задача. Забелязваме, че [tex]\log_3 17<\log_3 18=2+\log_3 2<2+\log_3 3=3[/tex]. Но [tex]\log_4 112=2+\dfrac{1}{2}\log_2 7>2+\dfrac{1}{2}\log_2 4=3[/tex], което означава, че [tex]\log_3 17<\log_4 112[/tex].

[ammornil]

Дефиниционно множество на логаритмичен едночлен: [tex]log_{a}(b)[/tex] съществува само тогава, когато [tex]\begin{array}{|l} a>0 \\ a\ne1 \\ b>0 \end{array}[/tex]

Специални логаритми (условни означения): [tex]\begin{cases} log_{10}(a)=lg(a) \\ log_{e}(a)=ln(a), (e- Неперово\ число) \end{cases}[/tex]
Смяна на основата: [tex]log_{a}b=\large{\frac{log_{n}b}{log_{n}a}}[/tex]
Сравняване на логаритми с равни основи:
Нека [tex]\begin{array}{l} a>0 \\ a \ne 1 \\ b>0 \\ c>0 \\ b>c \end{array}[/tex], тогава сравнението на [tex]log_{a}b[/tex] и [tex]log_{a}c \Rightarrow log_{a}b>log_{a}c[/tex]
Равенства и неравенства при логаритмуване: [tex]\begin{cases}(A)\ log_{a}1=0 \\ (Б)\ log_{a}a^{n}=n \\ (В)\ log_{a}(b.c)= log_{a}(b)+log_{a}(c) \\ (Г)\ log_{a}\large{\frac{b}{c}}=log_{a}(b)-log_{a}(c) \\ (Д)\ log_{a}(b^{n})=n.log_{a}(b) \\ (Е)\ log_{a}b, (b\ne1)\rightarrow \begin{cases} a>b \Rightarrow log_{a}b < 1 \\ a<b \Rightarrow log_{a}b > 1 \end{cases}\end{cases}[/tex]
---
(19)
От правило (Е) [tex]\begin{cases}log_{5}9>1 \\ log_{7}6<1 \end{cases} \Rightarrow log_{5}9>log_{7}6[/tex]

(20) и (21) аналогични на (19)

(21) Търсим една и съща степен на двете основи, за която единият логаритъм е по-малък от тази степен, а другият е по-голям. (Отнема доста упражнения да придобиеш усет за това коя е най-подходящата степен на двете основи на сравнявание логаритми).

[tex]3^{3}=27, log_{3}17 < log_{3}27\Rightarrow log_{3}17 < log_{3}(3^{3}) \Rightarrow log_{3}17 < 3[/tex].

[tex]4^{3}=64, log_{4}112 > log_{4}(64) \Rightarrow log_{4}112>3[/tex]

От горните неравнства: [tex]\begin{array}{l} log_{3}17 < 3 \\ log_{4}112>3 \end{array} \Rightarrow log_{3}17<log_{4}112[/tex]