В ромб ABCD с лице 8 е вписана окръжност с радиус 1

[Гост]

В ромб ABCD с лице 8 е вписана окръжност с радиус 1. Намерете острия ъгъл на ромба

[ammornil]

В ромб ABCD с лице 8 е вписана окръжност с радиус 1. Намерете острия ъгъл на ромба

[tex]AB=BC=CD=AD=a; AD \| BC; AB \| CD; K(O;1)[/tex]-вписана в ABCD.

Понеже окръжността е вписана, страните на ромба се явяват външни допирателни към окръжността. Радиус към външна допирателна е перпендикулярен на допирателната в точката на допиране. Построяваме два радиуса до точките на допоране към две срещилежащи страни. Понеже страните са успоредни помежду си, радиусите лежат на една и съща права, перпендикулярна на тези страни на ромба. От това следва, че така построените радиуси образуват височина на ромба. Следоватлно: [tex]h_{a}=h_{b}=2r= 2[/tex]
[tex]S=a.h_{a} \Rightarrow a=\frac{S}{h_{a}}=4[/tex]
[tex]S=a^{2}.sin \alpha \Rightarrow sin \alpha =\frac{S}{a^{2}}=\frac{8}{4^{2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha =\frac{\pi}{6} rad = 30 ^\circ[/tex]
[tex][/tex]