В ромб ABCD радиусите на окръжностите, описани около ABC

[Гост]

В ромб ABCD радиусите на окръжностите, описани около [tex]\triangle[/tex] ABC и [tex]\triangle[/tex] ABD, са съответно R1= [tex]\sqrt{3}[/tex] и R2=1
Намерете:
а) Острия ъгъл на [tex]\alpha[/tex] между страните
б)лицето му S

[ammornil]

[tex][/tex]
Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни и взаимно се разполовяват. [tex]AC \cap BD = T \Rightarrow AT=CT, BT=DT[/tex]
Центърът на описаната окръжност на всеки триъгълник, лежи на пресечната точка на симетралите на страните му. Диагоналите на ромба са взаимни симетрали един на друг, следовално центъра на окръжност през кои да е три върха на робма ще лежи на диагонал на ромба или на неговото продължение. Това обосновава приложения чертеж и защо центровете на дадените описани оркъжности лежат на една права с два от върховете на ромба.
Диагоналите на ромба са и ъглополовящи на върховете му, следователно:
[tex]\angle BAT = \angle TAD = 90 ^\circ -\angle ABT[/tex]

[tex]\triangle ABC \rightarrow[/tex] Синусова теорема: [tex]\frac{BC}{sin (\angle BAT)} = 2R_{1} \Rightarrow BC = 2R_{1}sin (\angle BAT)[/tex]
[tex]\triangle ABD \rightarrow[/tex] Синусова теорема: [tex]\frac{AD}{sin (\angle ABT)} = 2R_{2} \Rightarrow AD = 2R_{2}sin (90-\angle BAT) \Rightarrow AD=BC= 2R_{2}cos (\angle BAT)[/tex]

[tex]2R_{1}sin (\angle BAT)= 2R_{2}cos (\angle BAT) \Leftrightarrow \frac{sin (\angle BAT)}{cos (\angle BAT)}=\frac{R_{2}}{R_{1}} \Rightarrow tg(\angle BAT)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac
{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \angle BAT=30 ^\circ[/tex]

[tex]\angle BAD = 2\angle BAT=60 ^\circ[/tex] е търсеният остър ъгъл.

(б)
[tex]\triangle ABC \rightarrow[/tex] Синусова теорема: [tex]\frac{AC}{sin (\angle ABC)} = 2R_{1} \Leftrightarrow AC= 2R_{1}sin (\angle ABC)=2.\sqrt{3}.sin120 ^\circ=2.\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2} =3[/tex]
[tex]\triangle ABD \rightarrow[/tex] Синусова теорема: [tex]\frac{BD}{sin (\angle BAD)} = 2R_{2} \Leftrightarrow BD= 2R_{2}sin (\angle BAD)=2.1.sin60 ^\circ=2.1.\frac{\sqrt{3}}{2} =\sqrt{3}[/tex]

Скрит текст: покажи

*[tex]BD=R_{1} \Leftrightarrow O_{1} \equiv D[/tex]- с други думи: центърът на описаната около [tex]ABC[/tex] окръжност е въхът [tex]D[/tex].
От това следва също, че [tex]AB=BC=CD=AD=BD=\sqrt{3}[/tex]
Просто като забележка, няма пряко отношение към решението на задачата.

[tex]S=\frac{AC.BD}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex][/tex]