В координатна система са построени точките, намерете лицето

[Гост]

Здравейте, ще бъда много благодарна ако някой успее да ми помогне с тази задача

В координатна система са построени точките А(3;1), B(6;2), С(4;5), D(1;4). Определете вида на ABCD и пресметнете лицето му.

[ammornil]

Здравейте, ще бъда много благодарна ако някой успее да ми помогне с тази задача

В координатна система са построени точките А(3;1), B(6;2), С(4;5), D(1;4). Определете вида на ABCD и пресметнете лицето му.

Малко теория:
За права, минаваща през две точки [tex]M_{1}(x_{1};y_{1})[/tex] и [tex]M_{2}(x_{2};y_{2})[/tex] е в сила равенството: [tex]\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}[/tex]. От това равенство, можем да изведем нормалното уравнение на правата [tex](y_{2}-y_{1})(x-x_{1})-(x_{2}-x_{1})(y-y_{1})=0[/tex], както и Декартовото уравнение на правата, което има вида [tex]y=kx+n[/tex]. В последната форма, [tex]k[/tex] се нарича наклон и е равно на тангенса на ъгъла, който правата сключва с положителната посока на оста [tex]\vec{Ox}[/tex], а [tex]n[/tex] се нарича отрез и е точката в която правата пресича оста [tex]\vec{Oy},\ точката \ M(0,n)[/tex].
Някои особени случаи:
[tex]x_{1}=x_{2} \Rightarrow M_{1}M_{2} \| \vec{Oy}[/tex]
[tex]y_{1}=y_{2} \Rightarrow M_{1}M_{2} \| \vec{Ox}[/tex]
Дължината на отсечката [tex]M_{1}(x_{1};y_{1})[/tex] и [tex]M_{2}(x_{2};y_{2})[/tex] се намира по формулата: [tex]|M_{1}M_{2}|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}[/tex]

Взаимно разположение на две прави с дадени уравнения: [tex]\begin{array}{l} p: y=k_{p}x+n_{p} \\ q: y=k_{q}x+n_{q}\end{array}[/tex]
Ако [tex]k_{p}=k_{q}[/tex] то правите са успоредни помежду си.
Ако [tex]n_{p}=n_{q}[/tex] то правите се пресичат в точката [tex]M(0,n)[/tex], лежаща на оста [tex]\vec{Oy}[/tex].

Ъгълът между две прави се определя чрез тангенса си: [tex]tg \alpha = \left| \frac{k_{p}-k_{q}}{1+k_{p}.k_{q}} \right|[/tex]
---

За решението на тази задача, нека намерим уравненията на правите между всеки две точки: [tex]\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}[/tex]
[tex]l_{AB}: \frac{x-3}{6-3}=\frac{y-1}{2-1} \Rightarrow 3(y-1)=1(x-3) \Rightarrow 3y-3=x-3 \Rightarrow y=\frac{1}{3}x+0[/tex]

[tex]l_{BC}: \frac{x-6}{4-6}=\frac{y-2}{5-2} \Rightarrow -2(y-2)=3(x-6) \Rightarrow -2y+4=3x-18 \Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+11[/tex]

[tex]l_{CD}: \frac{x-4}{1-4}=\frac{y-5}{4-5} \Rightarrow -3(y-5)=-1(x-4) \Rightarrow -3y+15=-x+4 \Rightarrow y=\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}[/tex]

[tex]l_{DA}: \frac{x-1}{3-1}=\frac{y-4}{1-4} \Rightarrow 2(y-4)=-3(x-1) \Rightarrow 2y-8=-3x+3 \Rightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}[/tex]


[tex]\begin{cases} k_{l_{AB}} = k_{l_{CD}} \Rightarrow AB\|CD \\k_{l_{BC}} = k_{l_{AD}} \Rightarrow BC\|AD \end{cases} \Rightarrow ABCD[/tex] е успоредник.

[tex]|AB|=\sqrt{(6-3)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}[/tex]
[tex]|BC|=\sqrt{(6-4)^{2}+(2-5)^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}[/tex]
Нека [tex]\angle ABC= \alpha < 90 ^\circ \Rightarrow sin\alpha>0[/tex]
[tex]tg \alpha= \left| \frac{\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}{1+\frac{1}{3}.\left(-\frac{3}{2}\right)} \right|=\left| \frac{\frac{1}{3}+\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{11}{6}}{\frac{1}{2}} \right|=\frac{11}{3}=\frac{sin \alpha}{cos \alpha} \Rightarrow cos\alpha = \frac{3}{11}sin\alpha[/tex]

[tex]sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha = 1 \Leftrightarrow sin^{2}\alpha+\left( \frac{3}{11}sin\alpha \right)^{2}=1 \Leftrightarrow sin^{2}\alpha+ \frac{9}{121}sin^{2}\alpha =1 \Rightarrow 130sin^{2}\alpha=121 \Rightarrow sin\alpha = \frac{11\sqrt{130}}{130}[/tex]

[tex]S_{ABCD}=AB.BC.sin\alpha=\sqrt{10}.\sqrt{13}. \frac{11\sqrt{130}}{130}=11[/tex]

[tex][/tex]

[Гост]

Намерете sin a и cos a, ако
11. a = –450°
12. a = 1 080°
Намерете sin a, cos a, tg a, cotg a, ако
17. a = 570°
19. a = 660°
18. a = –4801.
Да се запишат всички стойности на x , за които: а) sin x = – 1; б) cos x = 1.
Посочете три положителни ъгъла, за които tg x = 1
2. Посочете три положителни ъгъла, за които cotg x = 3
3. Посочете три отрицателни ъгъла, за които tg x = –1
Посочете три отрицателни ъгъла, за които cotg x =− √3 върху 3
Сравнете: а) tg 20° и tg 80°; б) cotg 20° и cotg 80°; в) tg 40° и tg 100°; г) cotg 40° и cotg 100°
ако може цели решения

[ammornil]

IMG_20220215_205717 (2).jpg (399.12 KiB) Прегледано 499 пъти

(11)[tex]\alpha =-450^{\circ}=-(360^{\circ}+90^{\circ})[/tex]
[tex]\sin{-450^{\circ}}=-\sin{(450^{\circ})}=-\sin{(360^{\circ}+90^{\circ})}=-(\sin{90^{\circ}})=-1[/tex]
[tex]\cos{-450^{\circ}}=\cos{(450^{\circ})}=\cos{(360^{\circ}+90^{\circ})}=\cos{90^{\circ}}=0[/tex]

(12) [tex]\alpha =1080^{\circ}=3.360^{\circ}+0^{\circ}[/tex]
[tex]\sin{1080^{\circ}}=\sin{(3.360^{\circ}+0^{\circ})}=\sin{0^{\circ}}=0[/tex]
[tex]\cos{1080^{\circ}}=\cos{(3.360^{\circ}+0^{\circ})}=\cos{0^{\circ}}=1[/tex]

(17)[tex]\alpha =570^{\circ}=360^{\circ}+180^{\circ}+30^{\circ}[/tex]
[tex]\sin{570^{\circ}}=\sin{[360^{\circ}+(180^{\circ}+30^{\circ})]}=\sin{(180^{\circ}+30^{\circ})}=-\sin{30^{\circ}}=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\cos{570^{\circ}}=\cos{[360^{\circ}+(180^{\circ}+30^{\circ})]}=\cos{(180^{\circ}+30^{\circ})}=-\cos{30^{\circ}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\tg{570^{\circ}}=\tg{[360^{\circ}+(180^{\circ}+30^{\circ})]}=\tg{(180^{\circ}+30^{\circ})}=tg{30^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]\cotg{570^{\circ}}=\cotg{[360^{\circ}+(180^{\circ}+30^{\circ})]}=\cotg{(180^{\circ}+30^{\circ})}=cotg{30^{\circ}}=\sqrt{3}[/tex]

(18) [tex]\alpha =-4800^{\circ}=-(13.360^{\circ}+120^{\circ})[/tex]
[tex]\sin{-4800^{\circ}}=\sin{-(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=\sin{(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=-\sin{120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\cos{-4800^{\circ}}=\cos{-(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=\cos{(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=\cos{120^{\circ}}=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\tg{-4800^{\circ}}=\tg{-(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=-\tg{((13.360^{\circ}+120^{\circ})}=-tg{120^{\circ}}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]\cotg{-4800^{\circ}}=\cotg{-(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=-\cotg{(13.360^{\circ}+120^{\circ})}=-cotg{120^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

(19) [tex]\alpha =660^{\circ}=[360^{\circ}+(360^{\circ}-60^{\circ})][/tex]
[tex]\sin{660^{\circ}}=\sin{[360^{\circ}+(360^{\circ}-60^{\circ})]}=\sin{(360^{\circ}-60^{\circ})}=-\sin{60^{\circ}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\cos{660^{\circ}}=\cos{[360^{\circ}+(360^{\circ}-60^{\circ})]}=\cos{(360^{\circ}-60^{\circ})}=\cos{60^{\circ}}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\tg{660^{\circ}}=\tg{[360^{\circ}+(360^{\circ}-60^{\circ})]}=\tg{((360^{\circ}-60^{\circ})}=-tg{60^{\circ}}=-\sqrt{3}[/tex]
[tex]\cotg{660^{\circ}}=\cotg{[360^{\circ}+(360^{\circ}-60^{\circ})]}=\cotg{(360^{\circ}-60^{\circ})}=-cotg{60^{\circ}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]

[ammornil]

Да се запишат всички стойности на x , за които: а) sin x = – 1; б) cos x = 1.

[tex]\sin{x}=-1 \Rightarrow \begin{cases} x=-90 ^\circ \pm k.360 ^\circ, \phantom{1} k \in N \\ x=270 ^\circ \pm k.360 ^\circ, \phantom{1} k \in N \end{cases}[/tex]

[tex]\cos{x}=1 \Rightarrow x=\pm 0 ^\circ \pm k.360 ^\circ, \phantom{1} k \in N[/tex]

Посочете три положителни ъгъла, за които tg x = 1

[tex]45 ^\circ, \phantom{1} 45 ^\circ+180 ^\circ=225 ^\circ, \phantom{1} 225 ^\circ + 180 ^\circ= 305 ^\circ ...[/tex]

2. Посочете три положителни ъгъла, за които cotg x = 3

Най-малкият положителен ъгъл, който има [tex]\cotg x = 3[/tex] е [tex]18 ^\circ 26' 06''[/tex]
Добавяйки по [tex]180 ^\circ[/tex] започвайки от този ъгъл, ще получаваме решения на задачата.

3. Посочете три отрицателни ъгъла, за които tg x = –1

[tex]\tg{x}=-1 \Rightarrow x=-45 ^\circ \pm k.180 ^\circ, \phantom{1} k \in N[/tex]
Търсените ъгли са [tex]-45 ^\circ, -225 ^\circ, -405 ^\circ[/tex]

Посочете три отрицателни ъгъла, за които cotg x =− √3 върху 3

[tex]\cotg{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow x=-60 ^\circ \pm k.180 ^\circ, \phantom{1} k \in N[/tex]
Търсените ъгли са [tex]-60 ^\circ, -240 ^\circ, -420 ^\circ[/tex]