Математическа индукция

[Гост]

1. Докажете с метода на математическата индукция равенството:
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)....(1-1/(n+1)^2)=n+2/2n+2
2.Докажете неравенството
1/n+1+1/n+2+...+1/3n+1>1 при n>=1
3.Докажете, че за всяко естествено число n:
а)11^n+2+12^2n+1 се дели на 133;
б)7^n-1 се дели на 6

[Nathi123]

Да припомним аксиомата на математическата индукция: Ако едно твърдение за естествените числа е вярно за числото 1 и от допускането,че е вярно за n = k,следва че твърдението е вярно и за естественото число n= k + 1 ,то твърдението е вярно за всяко естествено число.Приложена за задача1. ,трябва да проверим :
І. ( 1 - [tex]\frac{1}{4})= \frac{1+2}{2+2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}= \frac{3}{4}[/tex]-вярно равенство.
ІІ.Да допуснем ,че твърдението е вярно за n = k т.е. (1-[tex]\frac{1}{4}).(1- \frac{1}{9} )...(1- \frac{1}{(k+1) ^{2 } }) = \frac{k+2}{2k+2}[/tex] е вярно равенство . (1)
ІІІ. Ще докажем,че твърдението е вярно и за n = k+1 т.е. (1-[tex]\frac{1}{4}).(1- \frac{1}{9} )...(1- \frac{1}{(k+1) ^{2 } } )(1- \frac{1}{(k+2) ^{2 } } )=\frac{k+1+2}{2(k+1)+2}[/tex] също е вярно равенство (2) .Доказателство: От това,че (1) е вярно равенство,то лявата страна на (2) добива вида :
[tex]\frac{k+2}{2k+2}.(1-\frac{1}{(k+2) ^{2 } } )= \frac{k+2}{2(k+1)}.\frac{(k+2) ^{2 }-1 }{(k+2) ^{2 } }= \frac{k+2}{2(k+1)}. \frac{(k+2+1)k+2-1)}{(k+2) ^{2 }}= \frac{k+3}{2(k+2)}[/tex].Т.е. равенство (2)също е изпълнено,следователно твърдението е вярно за всяко ест. число n.
През тези три етапа се минава ,за да се докажат твърденията от другите 2 задачи.