Успоредник

[Гост]

Периметърът на успоредник е 90, единият от диагоналите му е 25, а лицето - 420. Да се намери втория диагонал.
Отг: 39

[Евва]

ABCD - успоредник AB=a ,BC=b ,BD=25 и [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex]
AC=d=?

Скрит текст: покажи

Ето една шантава идея

[tex]S_{ABD }[/tex]= [tex]\sqrt{p(p-25)(p-a)(p-b)}[/tex], където p=[tex]\frac{a+b+25}{2}[/tex]

[tex]210^{2 }[/tex]=[tex]\frac{a+b+25}{2}[/tex] .[tex]\frac{a+b-25}{2}[/tex] .[tex]\frac{b+25-a}{2}[/tex] .[tex]\frac{a+25-b}{2}[/tex]

44100.16=70.20(b+25-a)(a+25-b)

504=ab +25b-[tex]b^{2 }[/tex]+25a+625-25b-[tex]a^{2 }[/tex]-25a+ab

[tex]a^{2 }[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex] -2ab=121 (1)

По условие a+b=45 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2 } +b^{2}[/tex]+2ab= 2025 (2)
Събираме (1) и (2) и намираме [tex]a^{2 }+b^{2}[/tex]=1073 (3)

От (2) вадим (1) и намираме ab=952 (4)

([tex]\triangle[/tex]ABD-cos T) [tex]25^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 }+b^{2}[/tex]-2ab.cos[tex]\alpha[/tex]

625=1073-2.952.cos[tex]\alpha[/tex]
...
cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{4}{17}[/tex] (5)
За финал cos T за [tex]\triangle[/tex]ABC

[tex]d^{2 }[/tex]=[tex]a^{2 } +b^{2}[/tex]-2ab.cos[ 180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] ]

[tex]d^{2 }= a^{2 }+b^{2}[/tex]+2ab.cos[tex]\alpha[/tex]

Скрит текст: покажи

Виж (3) ,(4) и (5)

[tex]d^{2 }[/tex]=1073+2.952.[tex]\frac{4}{17}[/tex]

[tex]d^{2 }[/tex]=1073+448 [tex]\Rightarrow[/tex] d=[tex]\sqrt{1521}[/tex]=39

[S.B.]

Периметърът на успоредник е 90, единият от диагоналите му е 25, а лицето - 420. Да се намери втория диагонал.
Отг: 39

Без заглавие - 2022-01-08T220150.981.png (220.13 KiB) Прегледано 469 пъти

Още един поглед върху задачата

Нека $AB = CD = a , BC = AD = b, AC = d , BD = 25 $,[tex]\angle DAB = \alpha , \alpha \in (0 ^\circ ; 90 ^\circ )[/tex]
[tex]P_{ABCD } = 90 \Leftrightarrow 2a + 2b = 90 \Leftrightarrow a + b = 45[/tex]
[tex](a + b)^{2 } = 45^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } + 2ab+ b^{2 } = 45^{2 } \Rightarrow a^{2 } + b^{2 } = 45^{2 } -2ab[/tex]
[tex]S_{ABCD } = 420 \Leftrightarrow ab\sin \alpha = 420 \Rightarrow[/tex]
$$ab = \frac{420}{\sin \alpha }$$
$$\Rightarrow a^{2 } + b^{2 } = 45^{2 } -2. \frac{420}{\sin \alpha }$$

За [tex]\triangle ABD[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]BD^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2ab\cos \alpha \Leftrightarrow 25^{2 } = 45^{2 } - 2 \frac{420}{\sin \alpha } - 2 \frac{420}{\sin \alpha }\cos \alpha \Leftrightarrow 25^{2 } - 45^{2 } = -2 \frac{420}{\sin \alpha }(1 +\cos \alpha) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (25 + 45)(25 - 45) = -2.420 \frac{2 \cos^{2 } \frac{ \alpha }{2} }{2\sin \frac{ \alpha }{2}\cos \frac{ \alpha }{2} } \Leftrightarrow - 70.20 = - 2.420 \cotg \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow \cotg \frac{ \alpha }{2} = \frac{5}{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \displaystyle \frac{\cos \displaystyle\frac{ \alpha }{2} }{\sin \displaystyle\frac{ \alpha }{2} } = \displaystyle \frac{5}{3} \\ \sin^{2 } \displaystyle\frac{ \alpha }{2} + \cos^{2 }\displaystyle \frac{ \alpha }{2} = 1 \end{array}................... \Rightarrow \sin \displaystyle\frac{ \alpha }{2} =\displaystyle \frac{3}{ \sqrt{34} } , \cos\displaystyle \frac{ \alpha }{2} = \displaystyle\frac{5}{ \sqrt{34} }[/tex]
Тогава [tex]\sin \alpha = 2.\sin \frac{ \alpha }{2}.\cos \frac{ \alpha }{2} = 2. \frac{3}{ \sqrt{34} }. \frac{5}{ \sqrt{34} } \Rightarrow \sin \alpha = \frac{15}{17} , \cos \alpha = \frac{8}{17}[/tex]
Получавам ,че [tex]ab = \frac{420}{\sin \alpha } = 476 , a^{2 } + b^{2 } = 1073[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2ab\cos( \pi - \alpha ) \Leftrightarrow d^{2 } = 1073 + 952. \frac{8}{17} = 1521 \Leftrightarrow d^{2 } = 1521 \Rightarrow d = 39[/tex]

[Евва]

Опа , объркала съм сметките .
При правилно пресмятане намираме ab=476 (4) и cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{8}{17}[/tex] (5) .