Редица 1+(-1)^n/n

[Гост]

IMG_20220113_222934_edit_692512243509954.jpg (484.37 KiB) Прегледано 350 пъти

[Nathi123]

а) При n=1 [tex]\Rightarrow a _{1 } =1-1=0; n=2 \Rightarrow a _{2 } =1+ \frac{1}{2}[/tex] и т.н. при n=2k a[tex]_{2k }>1[/tex] и близко до 1 т.е. [tex]a_{2k }<2[/tex];
при n =2k+1[tex]\Rightarrow 0<a _{2k+1 } <1;[/tex].
б) От казаното в а) [tex]\Rightarrow 0<a _{n } <2[/tex] т.е.редицата е ограничена .
в) |a[tex]_{n}-1|< \frac{1}{10 ^{3 } } \Leftrightarrow | \frac{(-1) ^{n} }{n}|< \frac{1}{1000} \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{1000} \Leftrightarrow n>1000=n _{0 }[/tex]
г) Аналогично на в) се доказва,че за всяко [tex]\epsilon >0[/tex]съществува n[tex]_{0 };[/tex]при n>n[tex]_{0 } \Rightarrow |a _{n } -1|< \epsilon \Rightarrow \lim_{n \to \infty }a _{n } =1[/tex].( от деф. на Коши за граница на числова редица)