Трапец, вписан и описан около окръжност

[Гост]

Имам 2 задачи, които не мога да реша:
1. В окръжност с радиус R е вписан трапец ABCD с основа AB = 2R. Ако острият ъгъл между диагоналите на трапеца е [tex]\varphi[/tex], намерете лицето и периметъра му.

2. В трапец ABCD с основа AB = 30 е вписана окръжност, която се допира до бедрото BC в точка P, като PB = 12, PC = 6. Намерете лицето на трапеца.

За втората намерих, че лицето е 288[tex]\sqrt{2}[/tex], ако [tex]\angle[/tex]COB = 90[tex]^\circ[/tex]. Но не знам как да докажа, че този ъгъл е 90[tex]^\circ[/tex]. Иначе го намерих като OP = [tex]\sqrt{CP*BP}[/tex] = 6[tex]\sqrt{2}[/tex]. OP = r и h = 2r [tex]\Rightarrow[/tex] h = 12[tex]\sqrt{2}[/tex]. След това правя питагорова например в ADH, (DH - височина) и намирам, че AH = 6 и правя същото в CBH2 и намирам, че DC = 18 cm и намирам лицето S = ((30+18)*12[tex]\sqrt{2}[/tex])/2.

[S.B.]

2. В трапец ABCD с основа AB = 30 е вписана окръжност, която се допира до бедрото BC в точка P, като PB = 12, PC = 6. Намерете лицето на трапеца.

За втората намерих, че лицето е 288[tex]\sqrt{2}[/tex], ако [tex]\angle[/tex]COB = 90[tex]^\circ[/tex]. Но не знам как да докажа, че този ъгъл е 90[tex]^\circ[/tex].....

Наистина [tex]\angle COB = 90 ^\circ[/tex]
Центърът $О$ на вписаната в трапеца окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите [tex]\Rightarrow CO[/tex] и $BO$ са ъглополовящи съответно на [tex]\angle C[/tex] и [tex]\angle B[/tex].Но тези ъгли са прилежащи получени при пресичането на успоредните основи $AB$ и $CD$ с бедрото $BC$ и знаеш още от 7 клас,че [tex]\angle B + \angle C = 180 ^\circ \Rightarrow \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle BOC[/tex] е правоъгълен и [tex]\angle BOC = 90 ^\circ[/tex]

[S.B.]

1. В окръжност с радиус R е вписан трапец ABCD с основа AB = 2R. Ако острият ъгъл между диагоналите на трапеца е [tex]\varphi[/tex], намерете лицето и периметъра му.

Без заглавие - 2022-01-20T182933.923.png (237.19 KiB) Прегледано 1001 пъти

[tex]AB = 2R \Rightarrow AB[/tex] e диаметър и [tex]\angle ACB = 90 ^\circ , \triangle ACB[/tex] е правоъгълен
[tex]AC \cap BD = O , \angle BOC = \varphi \Rightarrow \angle AOB = 180 ^\circ - \varphi[/tex]
[tex]\triangle AOB[/tex] е равнобедрен(ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow \angle BAO = \angle ABO = \frac{180 ^\circ - (180 ^\circ - \varphi )}{2} = \frac{ \varphi }{2}[/tex]
За [tex]\triangle ABC \rightarrow \angle ABC = 90 ^\circ - \frac{ \varphi }{2}[/tex]

[tex]\frac{AC}{AB} = \cos \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow AC = 2R\cos \frac{ \varphi }{2}[/tex]

[tex]\frac{BC}{AB} = \sin \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow BC = 2R\sin \frac{ \varphi }{2}[/tex]

[tex]CH\bot AB , \frac{CH}{BC} = \sin (90 ^\circ - \frac{ \varphi }{2}) \Leftrightarrow CH = BC\cos \frac{ \varphi }{2} \Leftrightarrow CH = 2R\sin \frac{ \varphi }{2}\cos \frac{ \varphi }{2} \Rightarrow CH = R\sin \varphi[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{1}{2} AC.BD\sin \varphi \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2}4 R^{2 } \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2}[/tex]
$$S_{ABCD } = 2 R^{2 } \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} $$
[tex]S_{ABCD } = \frac{AB + CD}{2}CH \Leftrightarrow 2 R^{2 } \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} = \frac{2R + CD}{2} .R\sin \varphi \Leftrightarrow[/tex]
$$4 R^{2 } \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} = (2R + CD)R\sin \varphi$$
[tex]2R + CD = \frac{4 R^{2 } \cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{R\sin \varphi } = \frac{4R\cos^{2 } \frac{ \varphi }{2} }{2\sin \frac{ \varphi }{2}\cos \frac{ \varphi }{2} } = 2R\cotg \frac{ \varphi }{2}[/tex]
[tex]P_{ABCD } = 2R + CD + 2BC = 2R\cotg \frac{ \varphi }{2} + 4R\sin \frac{ \varphi }{2} = ..........[/tex]

[mail_dinko]

Голямата основа AB=d=2R
Диагоналите се пресичат в т.О.
[tex]\angle BOC = \angle DOA = \varphi[/tex]
Вписаният трапец е винаги равнобедрен.
Диаметърът е най-голямата хорда в окр., имаме прав вписан ъгъл [tex]\angle ACB = 90 ^ \circ = \angle ADB[/tex]
В правоъгълния триъгълник [tex]COB, \angle COB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle CBO = 90 ^\circ - \varphi[/tex]
Намираме съседен ъгъл [tex]\angle AOB = 180 ^\circ - \angle COB= 180 ^\circ - \varphi[/tex]
От тук в равнобедрения [tex]\triangle AOB \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA = 90^\circ - \frac {\varphi}{2}[/tex]
Разгл. правоъгълен [tex]\triangle ABC \Rightarrow cos _ {\angle CAB } = \frac {AC}{2R} \Rightarrow AC = 2R cos \frac {\varphi}{2}[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAB } = \frac 12 . sin \frac {\varphi}{2} . 2 R. 2 R. sin \frac {\varphi}{2} = R^2 sin \varphi[/tex]
[tex]CH \bot AB : H \in AB[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAB } = \frac 12 AB . CH \Rightarrow CH = \frac {2 R^2 sin \varphi}{2R} = R sin \varphi[/tex]
[tex]sin \frac {\varphi}{2} = \frac {CB}{AB} \Rightarrow CB = 2R sin \frac {\varphi}{2} = AD[/tex]
[tex]( AB || CD ) \cap AC \Rightarrow \angle CAB = \angle ACD = \frac {\varphi}{2}[/tex] - това са вътрешно кръстни ъгли
[tex]\angle DAB + \angle DCB = 180 ^\circ[/tex] - от вписан четириъгълник
[tex]\angle DAB = 180 ^\circ - \angle BCD = 180^\circ - \frac {\varphi}{2} - 90 ^\circ = 90 ^\circ - \frac {\varphi}{2}[/tex]
[tex]\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB =90 ^\circ - \frac {\varphi}{2} - \frac {\varphi}{2} = 90 ^\circ - \varphi[/tex]
Прилагаме косинусова теорема за [tex]\triangle DCA[/tex]
[tex]DC^2 = AD^2 + CA ^2 - 2 AD. CA . cos (90 ^\circ - \varphi)[/tex]
[tex]DC^2 = 4R^2 sin^2 \frac {\varphi}{2} + 4R^2 cos ^2 \frac {\varphi}{2} - 4R^2 . 2 sin \frac {\varphi}{2} cos \frac {\varphi}{2} sin \varphi[/tex]
[tex]DC ^2= 4R^2 (sin ^2 \frac {\varphi}{2} + cos ^2 \frac {\varphi}{2} ) - 4R^2 sin \varphi sin \varphi[/tex]
[tex]DC ^2 = 4R^2 - 4R^2 sin^2 \varphi = 4R^2 (1- sin^2 \varphi) = 4R^2 cos^2 \varphi \Rightarrow CD = 2R cos \varphi[/tex]

[tex]S (трапец) = \frac 12 . R sin \varphi . (2R + 2R cos \varphi) = R^2 sin \varphi (1+ cos \varphi) = 2R^2 sin \varphi cos^2 \frac {\varphi}{2}[/tex]

[tex]P = 4R sin \frac {\varphi}{2} + 2R + 2R cos \varphi = 2R (2sin \frac {\varphi}{2} + 1 + cos \varphi)= 2R (2sin \frac {\varphi}{2} + \cancel {sin ^2 \frac {\varphi}{2}} + cos ^2 \frac {\varphi}{2} + cos ^2 \frac {\varphi}{2} \cancel {- sin ^2 \frac {\varphi}{2}})[/tex]
[tex]P =4R (sin \frac {\varphi}{2} + cos ^2 \frac {\varphi}{2})[/tex]

[Proto0o]

Благодаря!