Вписан четириъгълник

[Гост]

Четириъгълник ABCD с диагонали AC = 12 cm и BD = 9 cm е вписан в окръжност. Да се намери лицето на четириъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAC = 2 [tex]\angle[/tex] ACD = 40[tex]^\circ[/tex]

[nikola.topalov]

Докажи, че острият ъгъл между диагоналите на четириъгълника е [tex]60^\circ[/tex] и използвай, че лицето му е равно на полупроизведението на двата му диагонала, умножено със синуса на ъгъла между тях.

[Гост]

Четириъгълник ABCD с диагонали AC = 12 cm и BD = 9 cm е вписан в окръжност. Да се намери лицето на четириъгълника, ако [tex]\angle[/tex]BAC = 2 [tex]\angle[/tex] ACD = 40[tex]^\circ[/tex]

Без заглавие - 2022-01-22T173110.999.png (226.81 KiB) Прегледано 440 пъти

[tex]\angle BAC = 40 ^\circ \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{BC} = 80 ^\circ[/tex]
[tex]\angle ACD = 20 ^\circ \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AD} = 40 ^\circ[/tex]
[tex]\angle BOC = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC} + \overset{\displaystyle\frown}{AD}}{2} = \displaystyle\frac{80 ^\circ + 40 ^\circ }{2} = 60 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}\sin \angle BOC \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{12.9}{2} \frac{ \sqrt{3} }{2} = 27 \sqrt{3}[/tex]