Трапец

[Гост]

Бедрата AD и BC на трапец са съответно 8 и 10, а малката основа CD е равна на 2. Намерете лицето на трапеца, ако ъглополовящата на [tex]\le[/tex]ABC минава през средата на AD.
Отговор: 40

[nikola.topalov]

Нека [tex]E[/tex] е средата на [tex]AD[/tex] и [tex]BE\cap CD= F[/tex]. Имаме, че [tex]\angle ABE=\angle EBC[/tex] (по условие) и отделно [tex]\angle ABE=\angle CFB[/tex] заради успоредността на правите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex]. Това означава, че [tex]\triangle FBC[/tex] е равнобедрен, т.е. [tex]FD=8[/tex]. Тъй като [tex]\angle FDE=\angle EAB[/tex], [tex]\angle FED=\angle AEB[/tex] и [tex]DE=EA[/tex], то [tex]\triangle ABE\cong \triangle DFE[/tex], откъдето за голямата основа на трапеца получаваме [tex]AB=8[/tex]. Построяваме [tex]G\in AB:CG\parallel DA[/tex] и намираме [tex]GB=6[/tex]. Оказва се, че [tex]CG\perp AB[/tex], защото [tex]BC^2=CG^2+GB^2[/tex], което означава, че [tex]CG[/tex] играе роля на височина на трапеца. И така намираме лицето му [tex]S_{ABCD}=40[/tex].