Сходяща редица

[Гост]

Докажете, че редицата с общ член an е сходяща, ако:
[tex]a_{n}=\frac{10}{1}.\frac{11}{3}....\frac{n+9}{2n-1}/tex]

[Гост]

.

CodeCogsEqn.png (859 Байта) Прегледано 352 пъти

[peyo]

Докажете, че редицата с общ член an е сходяща, ако:
[tex]a_{n}=\frac{10}{1}.\frac{11}{3}....\frac{n+9}{2n-1}[/tex]

[tex]a_{1}=\frac{10}{1}[/tex]

[tex]a_{2}=\frac{10}{1}.\frac{11}{3}[/tex]

[tex]a_{3}=\frac{10}{1}.\frac{11}{3}.\frac{12}{5}[/tex]

Изглежда че новото за всеки член е последния множител. Да видим кога последния множотел ще стане по-малък от 1, например от 2/3 ?

$\frac{n+9}{2n-1} < 2/3$

$3n+27 < 4n-2$

$25< n$

Значи след 25-тия член всеки следащ ще е поне 2/3 по-малък от предишния. Значи;

$а_n < a_{25} . \left (\frac{2}{3} \right )^{n-25}$
[tex]a_n < \lim_{н \to \infty } a_{25} \left (\frac{3}{2} \right )^{25} \left (\frac{2}{3} \right )^{n} =0[/tex]