Задачи с трапец и четириъгълник

[Гост]

Може ли помощ за 15, 16, 17?

[Евва]

16 зад. ABCD-четириъгълник AC=30 см. , точките M ,Q ,N ,P са среди съответно на отсечките
AB ,BC ,CD и AD ;MN=28 см. , PQ=26 см. ,[tex]\angle[/tex]PMQ=[tex]\alpha[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex]=?

MQ е средна отс. в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] MQ||AC
PN е средна отс. в [tex]\triangle[/tex]ACD [tex]\Rightarrow[/tex] PN||AC
Следователно MQ||PN , по същия начин док. ,че MP||NQ ,тогава MQNP е успоредник [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]MN^{2 }[/tex]+[tex]PQ^{2 }[/tex]=2[tex]MQ^{2 }[/tex]+2[tex]MP^{2 }[/tex]

[tex]28^{2 }[/tex]+[tex]26^{2 }[/tex]=2.[tex]15^{2 }[/tex]+2[tex]MP^{2 }[/tex]
...
MP=[tex]\sqrt{505}[/tex] (1)
( [tex]\triangle[/tex]MQP-cos T ) [tex]PQ^{2 }[/tex]=[tex]MP^{2 }[/tex]+[tex]MQ^{2 }[/tex]-2MP.MQ.cos[tex]\alpha[/tex]

[tex]26^{2 }[/tex]=505+225-2[tex]\sqrt{505}[/tex].15cos[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{9}{5 \sqrt{505} }[/tex]

[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=1 ; [tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{1}[/tex]-[tex]\frac{81}{25.505}[/tex] ; sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{112}{5 \sqrt{505} }[/tex] (2)

Нека [tex]S_{1 }[/tex]=[tex]S_{AMP }[/tex] ,[tex]S_{2 }[/tex]=[tex]S_{MBQ }[/tex] ,[tex]S_{3 }[/tex]=[tex]S_{NQC }[/tex] ,[tex]S_{4 }[/tex]=[tex]S_{PND }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AMP[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABD по 1 признак
[tex]\frac{ S_{AMP } }{ S_{ABD } }[/tex]=[tex]\frac{ MP^{2 } }{ BD^{2 } }[/tex] ; [tex]\frac{ S_{1 } }{ S_{ABD } }[/tex]=[tex]\frac{ MP^{2 } }{ (2MP)^{2 } }[/tex] ; [tex]S_{ABD }[/tex]=4[tex]S_{1 }[/tex]
По същия начин намираме [tex]S_{ABC }[/tex]=4[tex]S_{2 }[/tex] ,[tex]S_{BCD }[/tex]=4[tex]S_{3 }[/tex] ,[tex]S_{ACD }[/tex]=4[tex]S_{4 }[/tex]

Скрит текст: покажи

Събираме четирите равенства .

[tex]S_{ABD }[/tex]+[tex]S_{ABC }[/tex]+[tex]S_{BCD }[/tex]+[tex]S_{ACD }[/tex]=4[tex]S_{1 }[/tex]+4[tex]S_{2 }[/tex]+4[tex]S_{3 }[/tex]+4[tex]S_{4 }[/tex]

2[tex]S_{ABCD }[/tex]=4([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])

[tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex]=[tex]\frac{ S_{ABCD } }{2}[/tex] (3)
_________________________________________________________________
[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]S_{MQNP }[/tex]+([tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]+[tex]S_{3 }[/tex]+[tex]S_{4 }[/tex])
[tex]S_{ABCD }[/tex]=MP.MQ.sin[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{ S_{ABCD } }{2}[/tex]

[tex]\frac{ S_{ABCD } }{2}[/tex]=[tex]\sqrt{505}[/tex].15.[tex]\frac{112}{5 \sqrt{505} }[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=672 [tex]см.^{2 }[/tex]