Описан трапец

[Гост]

В трапец е вписана окръжност с диаметър BC, която се допира до бедрото AD в средата му - т. М. MC=6 см и MB=8 см. Колко е лицето на трапеца?

[mail_dinko]

Според моят чертеж имаме правоъгълен трапец [tex]CB \bot AB[/tex]
[tex]AB ||CD[/tex]
MN - средна отсечка в трапеца, т. [tex]N \in BC \Rightarrow CN = NB = r = \frac {h}{2}[/tex]
[tex]S _ {\triangle BCM} = \frac 12 . MN . CB = r MN \Rightarrow MN = \frac {S _ {\triangle BCM}}{r}[/tex]
[tex]MN = \frac {AB + CD}{2}[/tex]
[tex]\frac {AB + CD}{2} = \frac {S _ {\triangle BCM}}{r}[/tex]
[tex]S_{ABCD} = \frac {CB}{2} (AB+CD) = \frac {2r}{1}. \frac {S _ {\triangle BCM}}{r}[/tex]
[tex]S_{ABCD} =2 S _ {\triangle BCM}[/tex]
След като знаем 2 страни, трябва по някакъв начин да се намери ъгълът между тях

[ammornil]

Аз съм объркан.

220205_001.png (41 KiB) Прегледано 469 пъти

220205_002.png (42.04 KiB) Прегледано 469 пъти

Радиус в точката на допиране е перпендикулярен на допирателната, и това ме доведе до противоречие в анализа.
Понеже окръжността е вписана, AB, AD, CD са допирателни и [tex]MN=BN=CN=r[/tex], следователно [tex]\angle ABC=\angle BCD = \angle AMN[/tex], което би направило фигурата правоъгълник, понеже [tex]MN \| AB[/tex], което би означавало [tex]BM=CM[/tex], което противоречи на условието [tex]MB=8,\ MC=6[/tex].

Нещо в логиката ми не е вярно или условието е некоректно. Според мен M не може да е среда на AD ако е допирна точка на окръжност с диаметър другото бедро на трапеца.

[tex]\triangle BCM, BC[/tex] се вижда под прав ъгъл от върха М (вписан правоъгълен триъгълник) [tex]\Rightarrow BC^{2}=BM^{2}+MC^{2} \Rightarrow BC=10 \Rightarrow r=5[/tex]

[ammornil]

Според моят чертеж имаме правоъгълен трапец [tex]CB \bot AB[/tex]
След като знаем 2 страни, трябва по някакъв начин да се намери ъгълът между тях

Ъгълът между [tex]MB[/tex] и [tex]MC[/tex] е прав, защото триъгълникът е вписан и страната срещу ъгъла е диаметър на описаната окръжност, тоест вижда се под [tex]90 ^\circ[/tex] от срещулежащия ъгъл.

[S.B.]

Без заглавие - 2022-02-06T072811.513.png (219.59 KiB) Прегледано 457 пъти

Аз мисля,че условието е некоректно зададено.

Ако приемем,че условието е коректно и $M$ е среда на $AD$ тогава тъй като и т.$O$ е среда на $BC$ би следвало,че $OM$ е средна отсечка в трапеца $ABCD$ [tex]\Rightarrow \begin{cases} OM||AB \\ OM || CD \end{cases} \Rightarrow OM \bot BC[/tex]
Трапецът $ABCD$ ще се изроди в правоъгълник [tex]A_{1 }BC D_{1 }[/tex] и окръжността ще се допира до [tex]A_{1 } D_{1 }[/tex] в точка [tex]M_{1 }[/tex], която ще е среда на [tex]A_{1 } D_{1 }[/tex]
Тогава [tex]OM_{1 }[/tex] ще бъде височина и медиана в правоъгълния [tex]\triangle B M_{1 } C[/tex]
[tex]\Rightarrow B M_{1 } = M_{1 } C[/tex],което противоречи на условието,че [tex]MB\ne MC[/tex]