Сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична

[Гост]

Сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична
прогресия , които са на нечетни места е 36, а сумата от членовете, които са
на четни места е 12. Намерете прогресията.

[Hephaestus]

Нека членовете на търсената прогресия са [tex]a_{1 }, a_{2 }, a_{3 }, a_{4 }, ...[/tex], а частното е [tex]q[/tex].

Нечетните членове [tex]a_{1 }, a_{3 }, a_{5 }, ...[/tex] формират безкрайно намаляваща геометрична прогресия [tex]b_{1 } = a_{1 }, b_{2 } = a_{3 }, b_{3 } = a_{5 }, ...[/tex] с частно
[tex]\frac{a_{3}}{a_{1}} = \frac{a_{1}q^{2 }}{a_{1}} = q^{2 }[/tex]. Тогава за тяхната сума имаме [tex]\frac{b_{1}}{1-q^{2}} = 36[/tex] [tex](1)[/tex] съгласно известната формула.

Четните членове [tex]a_{2 }, a_{4 }, a_{6 }, ...[/tex] също формират безкрайно намаляваща геометрична прогресия [tex]c_{1 } = a_{2 }, c_{2 } = a_{4 }, c_{3 } = a_{6 }, ...[/tex] с частно
[tex]\frac{a_{4}}{a_{2}} = \frac{a_{1}q^{3 }}{a_{1}q} = q^{2 }[/tex]. Тогава за тяхната сума имаме [tex]\frac{c_{1}}{1-q^{2}} = 12[/tex] [tex](2)[/tex] съгласно известната формула.

Делим почленно (1) и (2) и получаваме [tex]\frac{b_{1}}{c_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{36}{12} = 3 \Rightarrow \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{1}{3}[/tex], т.е. частното на търсената прогресия е [tex]q = \frac{1}{3}[/tex]. Първият член можем да го намерим чрез директно заместване в [tex](1) \Rightarrow b_{1 } = a_{1 } = 36(1-q^{2 }) = 36 - 36.\frac{1}{9} = 36 - 4 = 32[/tex]. Следователно търсената прогресия е [tex]32, \frac{32}{3}, \frac{32}{9}, \frac{32}{27}, ...[/tex]

[Евва]

Мисля ,че геом. прогресия 32,4 ; 10,8 ; 3,6 ; 1,2 [ при n=4 ] отговаря на условието .

[ при n=6 ] [tex]\frac{2916}{91}[/tex] ; [tex]\frac{972}{91}[/tex] ; [tex]\frac{324}{91}[/tex] ; [tex]\frac{108}{91} ; \frac{36}{91}[/tex] ; [tex]\frac{12}{91}[/tex]

[Hephaestus]

Прогресията е безкрайна, не е ограничена. Написал съм я до 4-ия член само за целите на задачата, след това съм отбелязал с многоточие безкрайността.