Точка на прекъсване

[Гост]

Намерете точките на прекъсване на функциите:
А) f(x) = [tex]\frac{x+2}{ x^{2 } - 3x-10}[/tex]
Б) f(x) = [tex]\begin{cases} 3+x, x \le 1 \\ x^{2 } - 1, x>1 \end{cases}[/tex]

[Davids]

А) $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10} = \frac{x+2}{(x+2)(x-5)}$

Сега е важно да не избързваме да съкращаваме, защото в $x_1 = -2$ функцията, така зададена, не е дефинирана. Едно една точка на прекъсване.

С това предвид, можем да вече да съкратим и да разгледаме функцията аналитично продължение на оригиналната $f$, нека я кръстим $g(x) = \frac{1}{x-5}$. Тя пък не е дефинирана за $x_2 = 5$, оттук и втората точка на прекъсване на $f$.

Както загатнах с горното си изречение, разликата между двете точки на прекъсване е, че $x_1$ подлежи на отстраняване чрез аналитично продължение. Какво означава това? Ами означава, че границите от двете страни към тази точка съществуват и са равни:
$\lim_{x\to -2^+}f(x) = \lim_{x\to -2^-}f(x) = \lim_{x\to -2}\frac{1}{x - 5} = -\frac{1}{7}$

Тоест, ако "додефинираме" $f$ в тази точка на прекъсване:
$f_1(x) = \begin{cases} \frac{x+2}{x^2-3x-10} & x \ne -2 \\ -\frac{1}{7} & x = -2 \end{cases}$
ще получим валидна непрекъсната в тази точка функция. Всъщност, получаваме $f_1 \equiv g$.

При $x = 5$ обаче случаят не е такъв, понеже границите отляво и отдясно са различни:
$\lim_{x\to 5^-}f(x) = -\infty$
$\lim_{x\to 5^+}f(x) = +\infty$

В случая дори са безкрайности (т.е. имаме вертикална асимптота), но при по-завъртяна функция можеше и да са числа - важното е, че са различни, т.е. тази точка на прекъсване не подлежи на аналитично продължение.

Малко лирично отклонение, но си струва да се спомене в този контекст, докато човек се занимава с темата.