Докажетее

[Гост]

IMG_20220221_133305_edit_49540542900773.jpg (1.25 MiB) Прегледано 339 пъти

[Davids]

Нека $f(x) := \log_5(x+2)$ и $g(x) := x-1$.

Разглеждаме $x\in(0, 2)$.

И двете функции са непрекъснати и монотонно нарастващи (оставям на теб да покажеш) и понеже $g(0) < f(0) < f(2) < g(2)$, то те задължително ще се пресекат в поне една точка (всъщност, със строгата монотонност, която добавихме, показахме, че е точно една).

Алтернативно, малко по-сбито, конкретно и теоретично подходено:
Нека $f(x) := \log_5(x+2) - x + 1$. Тогава $f$ е непрекъсната, като освен това $f(0) > 0 > f(2)$. Значи по теоремата за междинните стойности $f$ има корен някъде в интервала $(0,2)$, което е еквивалентно на доказуемото.