sin и cos от сбор и разлика на 2 ъгъла

[Гост]

Здравейте! Може ли помощ?

Зад.1 Опростете:
a) sin45°.sin135° - cos45°.cos135°
б)sin20°.cos10°+cos20°.cos80°

[Davids]

а) Ползваме тъждествата:
$\sin(180 - \alpha) = \sin\alpha \Rightarrow \sin135 = \sin45$
$\cos(90 + \alpha) = \cos90\cos\alpha - \sin90\sin\alpha = -\sin\alpha \Rightarrow \cos135 = -\sin45$
$\cos(90 - \alpha) = \sin\alpha \Rightarrow \cos45 = \sin45$

Значи
$\sin45\sin135 - \cos45\cos135 =$
$= \sin45\sin45 - \sin45(-\sin45) =$
$= 2\sin^245 = 1$

б) Ползваме формулата за синус от двоен ъгъл, но наобратно:
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

И така
$\sin20\cos10 + \cos20\cos80 =$
$= \sin20\cos10 + \cos20\sin10$
$= \sin(20 + 10) = \sin30 = \frac{1}{2}$

[Гост]

а) Ползваме тъждествата:
$\sin(180 - \alpha) = \sin\alpha \Rightarrow \sin135 = \sin45$
$\cos(90 + \alpha) = \cos90\cos\alpha - \sin90\sin\alpha = -\sin\alpha \Rightarrow \cos135 = -\sin45$
$\cos(90 - \alpha) = \sin\alpha \Rightarrow \cos45 = \sin45$

Значи
$\sin45\sin135 - \cos45\cos135 =$
$= \sin45\sin45 - \sin45(-\sin45) =$
$= 2\sin^245 = 1$

б) Ползваме формулата за синус от двоен ъгъл, но наобратно:
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

И така
$\sin20\cos10 + \cos20\cos80 =$
$= \sin20\cos10 + \cos20\sin10$
$= \sin(20 + 10) = \sin30 = \frac{1}{2}$

Благодаря много! А какво се случва с 80° в б)?

[Гост]

а) Ползваме тъждествата:

А не става ли с някоя от формулите за ъгли?

[Гост]

а) Ползваме тъждествата:

А не става ли с някоя от формулите за ъгли?

Ако ползваме cos (a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
и става
sin45°.sin135°-cos45°.cos135° = cos (45°+135°) = cos180° = -1

вярно ли е?

[Davids]

Ако ползваме cos (a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
и става
sin45°.sin135°-cos45°.cos135° = cos (45°+135°) = cos180° = -1

вярно ли е?

Не. Като идея ще стане, но това, което приравняваш на $\cos180$ всъщност е $-\cos180$, събираемите са с обърнати знаци.