Намерете лицето, периметъра и дължината на ъглополовящата

[Гост]

Намерете лицето, периметъра и дължината на ъглополовящата на първия ъгъл в правоъгълен триъгълник на [tex]\triangle[/tex] ABC, [tex]\angle[/tex]c=90°, ако АС=4см, АВ=2[tex]\sqrt{6}[/tex]см

[mail_dinko]

При стандартни означения намираме
[tex]a = \sqrt {c^2-b^2} = \sqrt {24-16} = 2 \sqrt {2}[/tex]
[tex]P = 4 + 2 \sqrt {2} + 2 \sqrt {6} =2 (2 + \sqrt {2} + \sqrt {6})[/tex]
[tex]S = \frac 12 ab = 4 \sqrt {2}[/tex]
[tex]cos \angle A = \frac {4}{2 \sqrt {6}} = \frac {2}{\sqrt {6}}[/tex]
[tex]\frac {b}{a} = \frac {AL}{c-AL} \Leftrightarrow \sqrt {2} = \frac {AL}{2 \sqrt {6}-AL}[/tex]
[tex]AL = 4 \sqrt {3} - \sqrt {2} . AL \Rightarrow AL = \frac {4 \sqrt {3} ( \sqrt {2} - 1)}{(1 + \sqrt {2})( \sqrt {2} - 1)} = 4 \sqrt {3} ( \sqrt {2} - 1)[/tex]
[tex]CL^2 = AL^2 + AC^2 - 2 AC. AL .cos \angle A = 16.3(2+1-2 \sqrt {2})+16-2.4.[4 \sqrt {3} ( \sqrt {2} - 1)].\frac {2}{\sqrt {3}. \sqrt {2}}. \frac { \sqrt {2}}{ \sqrt {2}}=[/tex]
[tex]=144-96 \sqrt {2}+16-8.4 ( \sqrt {2} - 1). \sqrt {2} = 160-96 \sqrt {2} -64+32 \sqrt {2}= 96 - 64 \sqrt {2} = 16 (6 - 4 \sqrt{2})[/tex]
[tex]CL = \sqrt { 16 (6 - 4 \sqrt{2})}=4. \sqrt { 2+2^2 - 2.2 \sqrt{2})} = 4 ({2-\sqrt {2}})[/tex]