Геометрична задача

[Proto0o]

В равнобедрения [tex]\triangle[/tex]ABC(AC = BC) точката O е център на вписаната в триъгълника окръжност. Разстоянието от точка O до AB е 3cm, а OC = 5cm.
Намерете:
а) дължините на страните на [tex]\triangle[/tex]ABC
б) лицето на четириъгълника ABKC, където K е пресечната точка на лъча AO с описаната около [tex]\triangle[/tex]ABC окръжност.

Аз реших а), и от доста време мъча б) като намерих доста неща, но не мога да изразя лицето на [tex]\triangle[/tex]BCK. Ако може малко помощ!

До къде стигнах:
Иначе за а) намерих че страните са съответно: AB=12cm, AC=BC=10cm като използвах свойството на ъглополовящата от [tex]\angle[/tex]B -. AO/OH = BC/BH (CO [tex]\cap[/tex] AB = H). И от там намерих лицето на [tex]\triangle[/tex]ABC = 48 [tex]cm^{2 }[/tex], намерих r(ABC) = 3[tex]\sqrt{5}[/tex] (на вписаната окръжност) и R = 25/4 на описаната окръжност. Също изразих повечето от ъглите и доказах, че [tex]\triangle[/tex]BKC е равнобедрен (CK=KB). И от отговорите се дава, че лицето на четириъгълника е 60,5 [tex]cm^{2 }[/tex] => S[tex]\triangle[/tex]CBK = 12,5 [tex]cm^{2 }[/tex] от което трябва да се докаже, че височината му от [tex]\angle[/tex]K = 2,5 cm.

Благодаря предварително!

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]ВАС =[tex]\alpha[/tex] , тогава [tex]\angle[/tex]BAO=[tex]\angle[/tex]CAO=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ( т. O е пресечна точка на ъглопол. )
Вписаните [tex]\angle[/tex]КАВ и [tex]\angle[/tex]КСВ отсичат една и съща дъга ВК [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\angle[/tex]KAB=[tex]\angle[/tex]KCB ; [tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\angle[/tex]KCB (1)

По същата логика намираме [tex]\angle[/tex]KBC=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]CBK е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] височината към основата в него KN се явява и медиана .

KN[tex]\bot[/tex]BC и CN=[tex]\frac{BC}{2}[/tex] =[tex]\frac{10}{2}[/tex]=5 см.

Правоъгълните [tex]\triangle[/tex]AHO и [tex]\triangle[/tex]CNK са подобни по 1 признак [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{OH}{KN}[/tex]=[tex]\frac{AH}{CN}[/tex] т.е. [tex]\frac{3}{KN}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] ; KN=2,5 см.

[tex]S_{CBK }[/tex] =[tex]\frac{BC.KN}{2}[/tex]=[tex]\frac{10.2,5}{2}[/tex]=12,5 [tex]см^{2 }[/tex]

[Proto0o]

Нека [tex]\angle[/tex]ВАС =[tex]\alpha[/tex] , тогава [tex]\angle[/tex]BAO=[tex]\angle[/tex]CAO=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] ( т. O е пресечна точка на ъглопол. )
Вписаните [tex]\angle[/tex]КАВ и [tex]\angle[/tex]КСВ отсичат една и съща дъга ВК [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\angle[/tex]KAB=[tex]\angle[/tex]KCB ; [tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]=[tex]\angle[/tex]KCB (1)

По същата логика намираме [tex]\angle[/tex]KBC=[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]CBK е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] височината към основата в него KN се явява и медиана .

KN[tex]\bot[/tex]BC и CN=[tex]\frac{BC}{2}[/tex] =[tex]\frac{10}{2}[/tex]=5 см.

Правоъгълните [tex]\triangle[/tex]AHO и [tex]\triangle[/tex]CNK са подобни по 1 признак [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{OH}{KN}[/tex]=[tex]\frac{AH}{CN}[/tex] т.е. [tex]\frac{3}{KN}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] ; KN=2,5 см.

[tex]S_{CBK }[/tex] =[tex]\frac{BC.KN}{2}[/tex]=[tex]\frac{10.2,5}{2}[/tex]=12,5 [tex]см^{2 }[/tex]

Много благодаря!