Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM, с основа правоъгълникъ

[Гост]

Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM, с основа правоъгълникът ABCD. За ръбовете е известно, че AD = DM = 6cm и AB = 8cm. Ортогоналната проекция на M в основата е точка D. Намерете тангенса на ъгъла между равнините (A, B, C) и (A, C, M).

[Гост]

[quote="Гост"]Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM, с основа правоъгълникът ABCD. За ръбовете е известно, че AD = DM = 6cm и AB = 8cm. Ортогоналната проекция на M в основата е точка D. Намерете тангенса на ъгъла между равнините (A, B, C) и (A, C, M).
Отг: tg =5/4

[S.B.]

Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM, с основа правоъгълникът ABCD. За ръбовете е известно, че AD = DM = 6cm и AB = 8cm. Ортогоналната проекция на M в основата е точка D. Намерете тангенса на ъгъла между равнините (A, B, C) и (A, C, M).
Отг: tg =5/4

Без заглавие - 2022-04-24T113122.700.png (405.7 KiB) Прегледано 1343 пъти

[tex](ACB) \equiv (ABCD) ; (ACM) \cap (ABCD) = AC \Rightarrow AC[/tex] е пресечницата на равнините и е ръб на двустенният [tex]\angle [(ACM),(ABCD)][/tex]
Всъщност има два двустенни ъгъла, линейните ъгли на които се допълват до [tex]180 ^\circ[/tex].Като начало аз ще намеря острия линеен ъгъл - линейният ъгъл на [tex]\angle [(ADC),(AMC)][/tex]
За правоъгълника $ABCD$ :
[tex]AC \cap BD = O[/tex] От [tex]\triangle ADC \rightarrow AC = 10[/tex] (след прилагане на Питагорова теорема)
$AC = BD = 10$ ,$AO = OC = 5$
Построявам права [tex]p \begin{cases} p Z O \\ p \bot AC\\p \cap CD = P\end{cases}[/tex]
Построявам [tex]PQ \bot DC, Q \in MC[/tex]
$OP$ е проекция на $OQ$
[tex]OP \bot AC \Rightarrow OQ \bot AC[/tex] (по теоремата за трите перпендикуляра)
[tex]\Rightarrow \angle QOP[/tex] е линейният ъгъл на [tex]\angle [(ADC),(AMC)][/tex]

От [tex]\triangle ADC \rightarrow[/tex]

[tex]\frac{AD}{AC} = \sin \gamma \Leftrightarrow \frac{6}{10} = \sin \gamma \Rightarrow \sin \gamma = \frac{3}{5} , \cos \gamma = \frac{4}{5}[/tex]

За [tex]\triangle OPC :[/tex]

[tex]\frac{OC}{PC} = \cos \gamma \Leftrightarrow \frac{5}{PC} = \frac{4}{5} \Rightarrow PC = \frac{25}{4}[/tex]

[tex]\frac{OP}{PC} = \sin \gamma \Leftrightarrow OP = PC.\sin \gamma = \frac{25}{4}. \frac{3}{5} \Rightarrow OP = \frac{15}{4}[/tex]

За стената $(DMC)$ на пирамидата $ABCDM$ :

[tex]PQ \bot DC \Rightarrow PQ || DM[/tex]

[tex]\triangle DCM \approx \triangle PQC \Rightarrow \frac{DM}{PQ} = \frac{DC}{PC} \Leftrightarrow PQ = \frac{DM.PC}{DC} = \frac{6}{8}. \frac{25}{4} \Rightarrow PQ = \frac{75}{16}[/tex]

От [tex]\triangle OPQ \rightarrow \tg \angle QOP = \displaystyle\frac{PQ}{OP} \Leftrightarrow \tg \varphi = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{75}{16} }{\displaystyle \frac{15}{4} } \Rightarrow \tg \varphi = \frac{5}{4}[/tex]
$$\tg \varphi = \frac{5}{4} , \tg(180 ^\circ - \varphi ) = - \frac{5}{4} $$

[nikola.topalov]

Още една идея: Спускаме [tex]DH\perp AC[/tex] и намираме [tex]DH=\dfrac{24}{5}[/tex]. Отделно по теоремата за трите перпендикуляра имаме, че [tex]MH\perp AC[/tex] и реално търсим [tex]\tg\angle DHM=\dfrac{DM}{DH}=\dfrac{6}{\frac{24}{5}}=\dfrac{5}{4}[/tex].

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM, на която тангенсът на линейния ъгъл между околна стена и основа е равен на корен от 2. Точка P е среда на височината на пирамидата MO. От точка P е построен перпендикуляр PQ към околния ръб AM (т.Q лежи на AM) , PQ= корен от 2. Намерете:
а)обема на пирамидата
б) ъгъл(PQ;BD)

[Гост]

[quote="Гост"]Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM, на която тангенсът на линейния ъгъл между околна стена и основа е равен на корен от 2. Точка P е среда на височината на пирамидата MO. От точка P е построен перпендикуляр PQ към околния ръб AM (т.Q лежи на AM) , PQ= корен от 2. Намерете:
а)обема на пирамидата
б) ъгъл(PQ;BD)
Ще се радвам ако някой отговори

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM, на която тангенсът на линейния ъгъл между околна стена и основа е равен на корен от 2. Точка P е среда на височината на пирамидата MO. От точка P е построен перпендикуляр PQ към околния ръб AM (т.Q лежи на AM) , PQ= корен от 2. Намерете:
а)обема на пирамидата
б) ъгъл(PQ;BD)
Ще се радвам ако някой отговори

На какво да вярвам?Ако пирамидата е правилна четириъгълна,както пише в условието основата е квадрат ,а не е правоъгълник ,както гласи заглавието!
Кое е вярното?

[Гост]

Да, не забелязах заглавието — просто се затрудних със задачата и исках да попитам как се решава. Да, основата е квадрат.

[ammornil]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM, на която тангенсът на линейния ъгъл между околна стена и основа е равен на корен от 2. Точка P е среда на височината на пирамидата MO. От точка P е построен перпендикуляр PQ към околния ръб AM (т.Q лежи на AM) , PQ= корен от 2. Намерете:
а)обема на пирамидата
б) ъгъл(PQ;BD)
Ще се радвам ако някой отговори

Тази задача е решавана ТУК