Докажете тъждеството

[Гост]

cotgalpha/2+cotgbeta/2+cotggamma/2=cotgalpha/2×cotgbeta/2×cotggamma/2

[Евва]

Ако [tex]\alpha[/tex] ,[tex]\beta[/tex] ,[tex]\gamma[/tex] са ъгли в триъгълник докажете ,че :
cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+cotg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]+cotg[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex] = cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex].cotg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex].cotg[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]

Ще използвам формулите :
cotg[tex]\alpha[/tex].cotg[tex]\beta[/tex]-1 =[tex]\frac{cos( \alpha+ \beta ) }{sin \alpha .sin \beta }[/tex] и cotg[tex]\alpha[/tex]+cotg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{sin( \alpha + \beta ) }{sin \alpha.sin \beta }[/tex]

[tex]\alpha +\beta +\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]= [ 90[tex]^\circ[/tex]-([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]) ]
________________________________________________
cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+cotg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]=? cotg[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]( cotg[tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex].cotg[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]-1 )

[tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2} )}{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex] =? cotg[ 90[tex]^\circ[/tex]-([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \beta }{2}[/tex]) ] .[tex]\frac{cos( \frac{ \alpha }{2} +\frac{ \beta }{2}) }{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex]

[tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2}) }{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex] =? tg([tex]\frac{ \alpha }{2}[/tex]+[tex]\frac{ \beta }{2} )[/tex] .[tex]\frac{cos( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2}) }{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex]

[tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2} )}{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex] =? [tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} )}{cos( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2}) }[/tex] .[tex]\frac{cos( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2} )}{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex]

[tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2} )}{sin \frac{ \alpha }{2}.sin \frac{ \beta }{2} }[/tex] =? [tex]\frac{sin( \frac{ \alpha }{2}+ \frac{ \beta }{2} ) }{sin \frac{ \alpha }{2} .sin \frac{ \beta }{2} }[/tex]

Очевидно имаме тъждество .
Самото доказателство можем да запишем в обратен ред .

[KOPMOPAH]

Браво на Евва, която от сухото и неточно cotgalpha/2+cotgbeta/2+cotggamma/2=cotgalpha/2×cotgbeta/2×cotggamma/2 успя да покаже такова добро решение. Разбира се, с уточнението, че става въпрос за ъгли в триъгълник - факт, който питащият е счел за несъществен... Както и използването на вълшебната думичка "моля".