Пирамида

[Гост]

Основата на пирамида е успоредник с лице m², в който BD ⊥ AD. Двустенните ъгли при AD и BC са по 45°, а при AB и CD - по 60°. Намерете лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата.

[S.B.]

Основата на пирамида е успоредник с лице m², в който BD ⊥ AD. Двустенните ъгли при AD и BC са по 45°, а при AB и CD - по 60°. Намерете лицето на околната повърхнина и обема на пирамидата.

Без заглавие - 2022-04-27T182357.406.png (415.27 KiB) Прегледано 389 пъти

[tex]BD \bot AD \Rightarrow \angle ADB = \angle DBC = 90 ^\circ[/tex] (като кръстни)
Двустенните ъгли при $AD$ и $BC$ са по [tex]45 ^\circ[/tex]:
[tex]BD \bot AD , MD \bot AD \Rightarrow \angle MDB[/tex] е линейният ъгъл на [tex]\angle (ADM),(ABCD) = 45 ^\circ[/tex]
Аналогично [tex]BC\bot BD, BM \bot BC \Rightarrow \angle MBD[/tex] е линейният ъгъл на [tex]\angle (BCM),(ABCD) = 45 ^\circ[/tex]
[tex]\triangle DBM[/tex] е равнобедрен правоъгълен.Нека [tex]DM = MB = l \Rightarrow BD = l \sqrt{2},DO = OB = OM = \frac{l \sqrt{2} }{2}[/tex],където т.$O$ е среда на $DB$

Построявам права през т.$O$ ,която е пепендикулярна на $AB$ и пресича $AB$ и $CD$ съответно в точки $P$ и $Q$.т.$O$ е проекцията на $M$ върху $(ABCD)$ ,$QO$ е проекция на $QM$ , [tex]QO \bot CD \Rightarrow MQ \bot CD \Rightarrow \angle MQO[/tex] е линейният ъгъл на двустенният ъгъл при $CD$ [tex]\Rightarrow \angle MQO = 60 ^\circ[/tex]
Аналогично [tex]\angle MPO = 60 ^\circ[/tex],лесно се доказва ,че $MP = MQ$ ,[tex]\Rightarrow \triangle MPQ[/tex] е равностранен , със страна $k$
Тогава [tex]OM = \frac{k \sqrt{3} }{2}[/tex]
От [tex]\begin{cases} OM = \displaystyle\frac{l \sqrt{2} }{2} \\ OM = \displaystyle\frac{k \sqrt{3} }{2} \end{cases} \Rightarrow k = \displaystyle\frac{l \sqrt{6} }{3}[/tex]
Нека $AB = CD = a , AD = BC = b$
[tex]S_{ABCD } = AD.BD \Leftrightarrow S_{ABCD } = b.l \sqrt{2} \Leftrightarrow b.l \sqrt{2} = m^{2 } \Rightarrow b = \frac{ m^{2 } }{l \sqrt{2} }[/tex]
[tex]S_{ABCD } = AB.PQ \Leftrightarrow S_{ABCD } = a. \frac{l \sqrt{6} }{3} \Leftrightarrow a. \frac{l \sqrt{6} }{3} = m^{2 } \Rightarrow a = \frac{3 m^{2 } }{l \sqrt{6} }[/tex]
За [tex]\triangle ADB[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]AB^{2 } - AD^{2 } = BD^{2 } \Leftrightarrow a^{2 } - b^{2 } = (l \sqrt{2} )^{2 } \Leftrightarrow \frac{9 m^{4 } }{6 l^{2 } } - \frac{ m^{4 } }{2 l^{2
} } = 2 l^{2 } \Leftrightarrow m^{4 } = 2 l^{4 } \Rightarrow l = \frac{m}{ \sqrt[4]{2} }[/tex]
[tex]OM = \frac{l \sqrt{2} }{2} \Rightarrow OM = \frac{m \sqrt[4]{2} }{2}[/tex]
[tex]V_{ABCD } = \frac{1}{3} m^{2 }. \frac{m \sqrt[4]{2} }{2} \Rightarrow[/tex]
$$V_{ABCD } = \frac{1}{6} m^{3 } \sqrt[4]{2} $$
[tex]S_{ок } = 2 S_{BCM } + 2 S_{ABM }[/tex]
[tex]S_{BCM } = \frac{b.l}{2 } \Rightarrow 2 S_{BCM } = b.l[/tex]
Но [tex]b.l \sqrt{2} = m^{2 } \Rightarrow b.l= \frac{ m^{2 } }{ \sqrt{2} } \Rightarrow 2 S_{BCM } = \frac{ m^{2 } }{ \sqrt{2} }[/tex]

[tex]S_{ABM } = \frac{a.k}{2} \Rightarrow 2 S_{ABM } = a.k[/tex]
Но [tex]a.k = m^{2 } \Rightarrow 2 S_{ABM } = m^{2 }[/tex]

[tex]S_{ок } = \frac{ m^{2 } }{ \sqrt{2} } + m^{2 } = m^{2 }( \frac{ \sqrt{2} }{2} + 1) \Rightarrow[/tex]
$$S_{ок } = \frac{1}{2} m^{2 } (2 + \sqrt{2}) $$

[Гост]

Добро решение