Докажете тъждеството

[Гост]

Здравейте, ще съм много благодарен, ако някой ми помогне с решението

[Davids]

Вместо $\alpha$ ще пишем $x$, че $\alpha$ е много трудоемко за набиране на TeX
Искаме да докажем тъждеството: $$\frac{sin^23x}{sin^2x} - \frac{cos^23x}{cos^2x} = 8cos2x$$

За целта ще се позовем на полезните формули за синус и косинус от троен ъгъл:
$sin3x = sinx(3-4sin^2x)$
$cos3x = cosx(4cos^2x-3)$

Заместваме в лявата страна и получаваме:

$\frac{\cancel{sin^2x}(3-4sin^2x)^2}{\cancel{sin^2x}} - \frac{\cancel{cos^2x}(4cos^2x-3)^2}{\cancel{cos^2x}} = (\underbrace{3-4sin^2x}_{a})^2 - (\underbrace{4cos^2x-3}_{b})^2$

Развиваме по формулата $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и получаваме:

$\overbrace{4(cos^2x-sin^2x)}^{a+b}\cdot\underbrace{\overbrace{(6 - 4(sin^2x + cos^2x))}^{a-b}}_{= 2} = 8(cos^2x - sin^2x) = 8cos2x$

Използвахме наобратно формулата за косинус от двоен ъгъл: $cos2x = cos^2x-sin^2x$. С това сме готови.

Да използваме повода да споменем, че използваните формули можеш да откриеш тук
А извеждането им (в случай, че не са познати) оставяме за упражнение на читателя. За всеки случай, полезно е да се имат предвид.

[Гост]

Ей, човек, жив и здрав бъди! Благодаря много!