Аритметичен сбор?

[Гост]

[tex]1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) =[/tex] ?

[Jack]

[tex]1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) =[/tex] ?

Ако $n$ е четно:
$(2n-1+1)+(2n-3+3) + ... = \frac{2n \times n}{2} = n^{2}$

Ако $n$ е нечетно:
$(2n-1+1)+(2n-3+3) + ... = \frac{(n-1) \times 2n}{2} + \frac{(2n-1+1)}{2} = n^{2}$

Ако $n$ е четно имаме точно $\frac{n}{2}$ двойки със сбор $2n$.
Ако $n$ е нечетно имаме точно $\frac{n-1}{2}$ двойки със сбор $2n$. Остава средното число, което е $n$.

Подобна задача е $1+2+3+...+n = \frac{n \times (n+1)}{2}$.
Също може би интересна задача е $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1) =$

Скрит текст: покажи

$\frac{n \times (n+1) \times (n+2)}{3}$

[Davids]

Търсим $S=\sum_{k=1}^{n }(2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n}k - \sum_{k=1}^{n}1$

Остава да използваме добре познатата формула за сбор на първите $n$ естествени числа, а именно:

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

Формулата можем да докажем по индукция, но това ще оставим за упражнение на читателя.

Съобразяваме и елементарния факт, че $\sum_{k=1}^{n}1 = n$, и получаваме окончателния резултат:

$S = 2\frac{n(n+1)}{2} - n = n^2$

[Гост]

Също може би интересна задача е $1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + n \times (n+1) =$

Скрит текст: покажи

$\frac{n \times (n+1) \times (n+2)}{3}$

$\underline{n=2k}$

$1.2+2.3+3.4+4.5+\cdots+n(n+1)=(1.2+2.3)+(3.4+4.5)+\cdots+(2k-1)(2k)+(2k)(2k+1)=$

$=2.(1+3)+4.(3+5)+6.(5+7)+\cdots+(2k)(2k-1+2k+1)=$

$=2.4+4.8+6.12+\cdots+(2k)(4k)=2(2^2+4^2+6^2+\cdots+(2k)^2)=$

$=8(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2)$

Това е позната сума: $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Имаме: $1.2+2.3+3.4+4.5+\cdots+n(n+1)=8\cdot\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}=$

$=\frac{2k(2k+2)(2k+1)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\underline{n=2k+1}$

$1.2+2.3+3.4+4.5+\cdots+n(n+1)=(1.2+2.3+3.4+4.5+\cdots+(2k-1)(2k)+(2k)(2k+1))+(2k+1)(2k+2)=$

$=\frac{2k(2k+1)(2k+2)}{3}+(2k+1)(2k+2)=$

$=\frac{4k(k+1)(2k+1)}{3}+2(2k+1)(k+1)=(k+1)(2k+1)\left(\frac{4k}{3}+2\right)=\frac{(k+1)(2k+1)(4k+6)}{3}=$

$=\frac{(2k+1)(2k+2)(2k+3)}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

[Гост]

Разбира се, може и по-кратко:

$\sum_{k=1}^nk(k+1)=\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk=$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{6}(2n+1+3)=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=$

$=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

[ammornil]

[tex]1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) =[/tex] ?

Дадена е аритметична прогресия с пътви член 1, разлика 2, и общ член [tex]a_{n}=1+(n-1).2=2n-1[/tex]

[tex]S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n=\frac{1+2n-1}{2}n=n^{2}[/tex]