Уравнение на окръжност

[Гост]

Съставете уравнение на окръжност, която се допира до ординатната ос и минава през точките (4; 5) и (18; -9). Наясно съм, че се решава със система с 3 неизвестни, които са координатите нна центъра и радиуса, но не мога да намеря третото уравнение нужно за решаване на системата.
За сега имам:
(4 - x)^2 + (5 - y)^2 = r^2
(18 - x)^2 + (-9 - y)^2 = r^2

[Гост]

x=0 e uravnenieto na dopiratelnata, c(a,b) e centurat, v koia tochka togava se dopira okruzhnostta?

[Евва]

[tex]x^{2 }[/tex]-20х+[tex]у^{2 }[/tex]+6у+9 =0
Това ли е отговора ?

[ammornil]

Съставете уравнение на окръжност, която се допира до ординатната ос и минава през точките (4; 5) и (18; -9). Наясно съм, че се решава със система с 3 неизвестни, които са координатите нна центъра и радиуса, но не мога да намеря третото уравнение нужно за решаване на системата.
За сега имам:
(4 - x)^2 + (5 - y)^2 = r^2
(18 - x)^2 + (-9 - y)^2 = r^2

220828_002.png (19.71 KiB) Прегледано 448 пъти

Нека окръжността има за център точката [tex]O_{1}(x_{O_{1}};y_{O_{1}})[/tex]
Понеже окръжността се допира до ординатната ос, коордиантата за [tex]x[/tex] на центъра на окръжаността е равна на радиуса на окръжността [tex]\rightarrow x_{O_{1}}=r[/tex] (От планиметрията знаем, че радиусът в точката на допиране е перпендикулярен на допирателната, следователно радиусът от центъра на окръжността към ординатната ос е точно размера на координата по абсцисата).
(понеже [tex](a-b)^{2}=(b-a)^{2}[/tex] ще разменим местата на неизвестните и свободните членове в скобите на уравненията от системата, защото изглежда по-естествено)

[tex]\begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\ (r-18)^{2} + (y+9)^{2}=r^{2} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\ (r-4)^{2} + (y-5)^{2}- [(r-18)^{2} + (y+9)^{2}]=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\ [(r-4)^{2} -(r-18)^{2}] + [(y-5)^{2} - (y+9)^{2}]=0 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\ (r-4+r-18)(r-4-r+18) + (y-5+y+9)(y-5-y-9)=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\ 14(2r-22) -14(2y+4)=0 |:14 \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} (r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \\2r-22-2y-4=0 |:2 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} r-y-13=0 \\(r-4)^{2} + (y-5)^{2}=r^{2} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} r=y+13 \\(y+9)^{2} + (y-5)^{2}=(y+13)^{2} \end{array}[/tex]

[tex]\Rightarrow \begin{array}{|l} r=y+13 \\ y^{2}+18y+81+y^{2}-10y+25=y^{2}+26y+169 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} r=y+13 \\ y^{2}-18y-63=0 \end{array}[/tex]

Второто уравнение има корени [tex]y_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{9^{2}-1.(-63)}}{1}=9\pm12 \Rightarrow \begin{cases} y_{1} = 21 \\ y_{2}=-3 \end{cases}[/tex], което дава две решения на системата:

[tex]\begin{array}{|l} r_{1}=34 \\ y_{1}=21 \end{array} \cup \begin{array}{|l} r_{2}=10 \\ y_{2}=-3 \end{array}[/tex]

Имаме две окръжности: [tex]\begin{cases} k_{1}(O_{1,1};r_{1}), \rightarrow O_{1,1}(34;21), r_{1}=34 \Rightarrow k_{1}: (x-34)^{2}+(y-21)^{2}=34^{2} \\ k_{2}(O_{1,2};r_{2}), \rightarrow O_{1,2}(10, -3), r_{2}=10 \Rightarrow k_{2}: (x-10)^{2}+(y+3)^{2}=10^{2} \end{cases}[/tex]

Проверете изчисленията, но логиката според мен е тази.