Пирамида

[Гост]

Геометрията въобще не ми е силата, дори и да не е пълно решение, съставен чертеж би бил от помощ

[KOPMOPAH]

Геометрията въобще не ми е силата...

Скрит текст: покажи

...както и стереометрията...

Ето един чертеж за начало...

Пирамида-2.png (20.45 KiB) Прегледано 337 пъти

[S.B.]

Без заглавие - 2022-09-03T215134.058.png (316.78 KiB) Прегледано 331 пъти

На фона на изящните чертежи на колегата KOPMOPAH моите изглеждат сигурно като недодялан опит за чертеж...
Представям Ви и моето виждане за тази задача:
Построявам сечение на пирамидата $ABCD$ по височината $DH$ и медианата в основата $AK$ .Това е [tex]\triangle AKD[/tex]
Нека $S$ е среда на височината $DH$ , [tex]\angle DAH = \alpha , DKH = \beta[/tex]
Нека $DH = h, AK = m $
[tex]DS = SH = \frac{h}{2} , AH = \frac{2m}{3} , KH = \frac{m}{3}[/tex] (защото върхът $D$ се проектира в т.$H$ ,която е медицентър на основата $ABC$)
Построявам [tex]SP \bot AD , SP = a[/tex] и [tex]SQ \bot KD , SQ = b[/tex]
Построявам [tex]HL || SP , L \in AD ; HM || SQ , M \in KD[/tex]
$SP =a$ е средна отсечка в [tex]\triangle DLH , \Rightarrow HL = 2a[/tex]
$SQ = b$ е средна отсечка в [tex]\triangle DMH , \Rightarrow HM = 2b[/tex]
За [tex]\triangle PDS:[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{PS}{DS} = \cos \angle PSD \Leftrightarrow \displaystyle \frac{a}{ \frac{h}{2} } = \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \displaystyle \frac{2a}{h}[/tex]
За [tex]\triangle AHL:[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{HL}{HA} = \sin \alpha \Leftrightarrow \displaystyle \frac{2a}{ \frac{2m}{3} } = \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha= \displaystyle \frac{3a}{m}[/tex]
[tex]\sin^{2 } \alpha + \cos^{2 } \alpha = 1 \Leftrightarrow ( \frac{3a}{m}) ^{2 } +(\frac{2a}{h} )^{2 } = 1[/tex]
$$\Rightarrow \frac{4 a^{2 } }{ h^{2 } } + \frac{9 a^{2 } }{ m^{2 } } = 1$$
Аналогично от [tex]\triangle SQD[/tex] и [tex]\triangle HMK[/tex] получавам [tex]\cos \beta = \frac{2b}{h}[/tex] и [tex]\sin \beta = \frac{6b}{m}[/tex] и съответно от [tex]\sin^{2 } \beta + \cos^{2 } \beta = 1[/tex]
$$\Rightarrow \frac{4 b^{2 } }{ h^{2 } } + \frac{36 b^{2 } }{ m^{2 } } = 1$$
Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{4 a^{2 } }{ h^{2 } } +\displaystyle \frac{9 a^{2 } }{ m^{2 } } = 1 \\ \displaystyle\frac{4 b^{2 } }{ h^{2 } } + \displaystyle\frac{36 b^{2 } }{ m^{2 } } = 1\end{array}[/tex]
Полагам [tex]\frac{1}{h} = u , \frac{1}{m} = v[/tex] и получавам:
[tex]\begin{array}{|l} 4 a^{2 } u^{2 } + 9 a^{2 } v^{2 } = 1 \\ 4 b^{2 } u^{2 } + 36 b^{2 } v^{2 } = 1\end{array}[/tex]
Получавам :
[tex]u = \frac{ \sqrt{4 b^{2 } - a^{2 } } }{2 \sqrt{3}ab } = \frac{1}{h} \Rightarrow h = \frac{2 \sqrt{3}ab }{ \sqrt{4 b^{2 } - a^{2 } } }[/tex]
[tex]v = \frac{ \sqrt{ a^{2 } - b^{2 } } }{3 \sqrt{3}ab } = \frac{1}{m} \Rightarrow m = \frac{3 \sqrt{3}ab }{ \sqrt{ a^{2 }- b^{2 } } }[/tex]
Ако $c$ е дължината на основния ръб на пирамидата ,тогава [tex]m = \frac{c \sqrt{3} }{2}[/tex]
Като заместим и преработим получаваме за $c$:
[tex]c = \frac{6ab}{ \sqrt{ a^{2 } - b^{2 } } }[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{ c^{2 } \sqrt{3} }{4} = \frac{9 \sqrt{3} a^{2 } b^{2 } }{ a^{2 } - b^{2 } }[/tex]
[tex]V_{ABCD } = S_{ABC }. \frac{h}{3} = \frac{9 \sqrt{3} a^{2 } b^{2 } }{ a^{2 } - b^{2 } }. \frac{2 \sqrt{3}ab }{3 \sqrt{4 b^{2 } - a^{2 } } }[/tex]
$$V_{ABCD } = \frac{18 a^{3 } b^{3 } }{( a^{2 } - b^{2 }) \sqrt{4 b^{2 } - a^{2 } } }$$
[tex]a>0 , b>0[/tex]
[tex]a^{2 } - b^{2 } >0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b)> 0 \Rightarrow a > b[/tex]
[tex]4 b^{2 } - a^{2 }>0 \Leftrightarrow (2b-a)(2b + a) > 0 \Rightarrow 2b>a \Leftrightarrow b> \frac{a}{2}[/tex]
За $a>0, b>0$ и [tex]\begin{cases} a > b \\ b> \displaystyle\frac{a}{2} \end{cases} \rightarrow b \in ( \displaystyle\frac{a}{2};a)[/tex]

Скрит текст: покажи

Дано не съм оплела някъде сметките,че са много неприятни! Но идеята е ясна!

[KOPMOPAH]

...На фона на изящните чертежи на колегата KOPMOPAH моите изглеждат сигурно като недодялан опит за чертеж...

Чак пък изящни...

И аз получих същия обем.