Входно ниво 11 клас

[Гост]

Здравейте на всички! Моля за помощ за следните две задачи от входно ниво за 11 клас. Задачите с алгебра ги реших сама, но с триъгълниците за съжаление хич ме няма. Благодаря предварително!

Зад.1.

В триъгълник ABC AB=7cm, BC=5 cm и медиана BM=2[tex]\sqrt{7}[/tex]. Намерете дължината на страната AC, лицето на ABC и радиуса на вписаната окръжност.

Зад.2

Ако tg[tex]\alpha[/tex]=2 (0<[tex]\alpha[/tex]<90[tex]^\circ[/tex]) намерете

A=[tex]\sqrt{ \frac{1+sin \alpha }{1-sin \alpha } }[/tex] - [tex]\sqrt{ \frac{1-sin \alpha }{1+sin \alpha } }[/tex]

[S.B.]

Зад.1.

В триъгълник ABC AB=7cm, BC=5 cm и медиана BM=2[tex]\sqrt{7}[/tex]. Намерете дължината на страната AC, лицето на ABC и радиуса на вписаната окръжност.

Без заглавие - 2022-09-29T151910.417.png (194.73 KiB) Прегледано 4283 пъти

За медианата съществува следната формула:
$$ m_{b } ^{2 } = \frac{1}{4}(2 a^{2 } + 2 c^{2 } - b^{2 } )$$
Заместваш и получаваш :[tex](2 \sqrt{7}) ^{2 } = \frac{1}{4}( 2. 5^{2 } + 2. 7^{2 } - b^{2 })[/tex] Решаваш това уравнение и получаваш:

$$b = 6$$

За да намериш лицето на [tex]\triangle ABC[/tex] използваш Хероновата формула:
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
където $p$ е полупериметърът на триъгълника,а $a,b,c$ са страните му.
Заместваш и получаваш
[tex]S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}= ......[/tex]
$$S = 6 \sqrt{6} $$

За да намериш радиуса на вписаната окръжност използваш формулата:
$$S = p.r$$
Заместваш и получаваш:
[tex]6 \sqrt{6} = 9.r \Rightarrow[/tex]
$$r= \frac{2 \sqrt{6} }{3} $$

[S.B.]

Зад.2

Ако tg[tex]\alpha[/tex]=2 (0<[tex]\alpha[/tex]<90[tex]^\circ[/tex]) намерете

A=[tex]\sqrt{ \frac{1+sin \alpha }{1-sin \alpha } }[/tex] - [tex]\sqrt{ \frac{1-sin \alpha }{1+sin \alpha } }[/tex]

[tex]A = \sqrt{ \frac{1 +\sin \alpha }{1 - \sin \alpha } } - \sqrt{ \frac{1 - \sin \alpha }{1 + \sin \alpha } } \Leftrightarrow A = \frac{ \sqrt{1 + \sin \alpha } }{ \sqrt{1 - \sin \alpha } } - \frac{ \sqrt{1 - \sin \alpha } }{ \sqrt{1 + \sin \alpha } }[/tex]

Привеждаш под общ знаменател и получаваш:

[tex]A = \frac{( \sqrt{1 + \sin \alpha }) ^{2 } - (\sqrt{1 - \sin \alpha } )^{2 } }{ \sqrt{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha )} }[/tex]

[tex]A = \frac{1 + \sin \alpha - 1 + \sin \alpha }{ \sqrt{1 - \sin^{2 } \alpha } }[/tex]

[tex]A = \frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha } = 2\tg \alpha = 2.2 \Rightarrow A = 4[/tex]

Скрит текст: покажи

Добре ще бъде ако си припомниш тригонометричните формули

[Гост]

Много благодаря!

П.С. Да, определено имам нужда да си ги припомня, защото жестоко забих на тези задачи