Приложна математика - ирационални неравенства

[Гост]

IMG_20221205_213218.jpg (137.48 KiB) Прегледано 387 пъти

IMG_20221205_213218.jpg (137.48 KiB) Прегледано 387 пъти

[mail_dinko]

[tex]\sqrt {6x^2+5x+5}< 1-5x-6x^2[/tex]
[tex]\sqrt {6x^2+5x+5}< -(6x^2+5x-1)[/tex]
Полагаме [tex]t=6x^2+5x+5>0[/tex]
[tex]\sqrt {t}< -(t-6)[/tex]
[tex]\sqrt {t}< 6-t[/tex]
[tex]t<36+t^2-12t \Rightarrow t^2-13t+36>0[/tex]
[tex]D= 169-144=5^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac {13 \pm 5}{2}[/tex]
[tex]t_1 = 9[/tex]
[tex]6x^2+5x+5=9 \Rightarrow 6x^2+5x-4=0[/tex]
[tex]D= 25+96=11^2[/tex]
[tex]x_{1,2} = \frac {-5 \pm 11}{12}[/tex]
[tex]x_1 = - \frac 43 ; x_2 = \frac12[/tex]
[tex]t_2 = 4[/tex]
[tex]6x^2+5x+5=4 \Rightarrow 6x^2+5x+1=0[/tex]
[tex]D = 25-24=1[/tex]
[tex]x_{3,4} = \frac {-5 \pm 1}{12}[/tex]
[tex]x_3 =- \frac12 ; x_4 = - \frac13[/tex]

Нататък не знам как се продължава

[S.B.]

[tex]\sqrt{6 x^{2 } + 5x + 5 } < 1 -5x - 6 x^{2 }[/tex]

Неравенства от този тип се решават по следното правило:

$$\sqrt{f(x)} < g(x) \Leftrightarrow \begin{array}{|l} g(x) > 0 \\ f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x)^{2 } \end{array}$$
[tex]f(x) = 6 x^{2 } + 5x +5[/tex]
[tex]g(x) = 1 - 5x - 6 x^{2 }[/tex]

[tex]\sqrt{ 6 x^{2 } + 5x + 5 } < 1 - 5x - 6 x^{2 } \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 1 - 5x - 6 x^{2 } > 0 \\ 6 x^{2 } + 5x + 5 \ge 0\\ 6 x^{2 } + 5x + 5 < (1 - 5x - 6 x^{2 }) ^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} - 6(x + 1)(x - \displaystyle \frac{1}{6}) > 0 \\ 6 x^{2 } + 5x + 5 \ge 0 \\ 6 x^{2 } + 5x + 5 > [1 - (5x + 6 x^{2 })] ^{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x \in (-1 ; \displaystyle \frac{1}{6}) \\ x \in (- \infty ; + \infty )\\(6 x^{2 } + 5x) + 5 < [ 1 - (6 x^{2 } + 5x)] ^{2 } \end{array}[/tex]
[tex]\Rightarrow DM : x \in (-1; \frac{1}{6})[/tex]
Нека [tex]6 x^{2 } + 5x = t[/tex]
След заместване:
[tex]t + 5 < (1 - t)^{2 } \Leftrightarrow t^{2 } - 3t - 4 > 0 , D = 25 , t_{1,2 } = \frac{3 \pm 5 }{2}, t_{1 } = 4 , t_{2 } = -1[/tex]
Връщам субституцията:
1)[tex]6x^{2 } + 5x = 4 \Leftrightarrow 6 x^{2 }+ 5x - 4 = 0 ,D = 121, x_{1 ,2} = \frac{-5 \pm 11}{12} , x_{1 }= \frac{1}{2} \notin DM , x_{2 } = - \frac{4}{3 } \notin DM[/tex]

2)[tex]6x^{2 } + 5x = -1 \Leftrightarrow 6 x^{2 } +5x +1 = 0,D= 1 , x_{3,4} = \frac{-5 \pm 1}{12} , x_{3 }= - \frac{1}{3} \in DM , x_{4 } = - \frac{1}{2} \in DM[/tex]
$$\Rightarrow x_{1 } = - \frac{1}{2} , x_{2 } = - \frac{1}{3} $$

[S.B.]

$$\sqrt{|x| -4} > 3x + 2$$

Неравенства от този тип се решават по следното правило:

[tex]\sqrt{f(x)} > g(x) \Leftrightarrow \begin{array}{|l} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0\end{array} \cup \begin{array}{|l} g(x) \ge 0\\ f(x) > 0 \\f(x)> g^{2 } (x)\end{array}[/tex]

В случая имаме:
[tex]f(x) = |x| - 4[/tex]
[tex]g(x) = 3x + 2[/tex]

Като следваме правилото за решаване на този тип неравенства получаваме:

[tex]\sqrt{|x| - 4} > 3x + 2 \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 3x + 2 < 0 \\ |x| - 4 \ge 0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} 3x + 2 \ge 0\\ |x| - 4 > 0 \\|x| - 4 > (3x + 2)^{2 } \end{array}[/tex]


Сега можете и сам(а) да продължите задачата. Успех!