Сравняване на логаритми с различни основи

[Гост]

Сравнете :
а) логаритъм от 3 при основа 2 с логаритъм от 11 при основа 5
б) логаритъм от 625 при основа 135 с логаритъм от 75 при основа 15.

[ammornil]

(2)
[tex]A=log_{135}{625}=\frac{log_{5}{625}}{log_{5}{135}}=\frac{log_{5}{5^{4}}}{log_{5}{5.3^{3}}}=\frac{4log_{5}{5}}{log_{5}{5}+3log_{5}{3}}=\frac{4}{1+3log_{5}{3}}[/tex]

[tex]B=log_{15}{75}=\frac{log_{5}{75}}{log_{5}{15}}=\frac{log_{5}{3.5^{2}}}{log_{5}{3.5}}=\frac{log_{5}{3}+2log_{5}{5}}{log_{5}{3}+log_{5}{5}}=\frac{2+log_{5}{3}}{1+log_{5}{3}}[/tex]

[tex]A-B=\frac{4}{1+3log_{5}{3}}-\frac{2+log_{5}{3}}{1+log_{5}{3}}=\frac{4(1+log_{5}{3})-(1+3log_{5}{3})(2+log_{5}{3})}{(1+3log_{5}{3})(1+log_{5}{3})}=\frac{4+4log_{5}{3}-2-log_{5}{3}-6log_{5}{3}-3log^{2}_{5}{3}}{(1+3log_{5}{3})(1+log_{5}{3})}[/tex]

[tex]\begin{cases} 3 > e \\ 5 < e^{2} \end{cases} \Rightarrow log_{5}{3}=\frac{ln{3}}{ln{5}} > \frac{ln{e}}{ln{e^{2}}} \Rightarrow \frac{ln{3}}{ln{5}} > \frac{1}{2}[/tex]

[tex]A-B=\frac{-3log^{2}_{5}{3}-3log_{5}{3}+2}{(1+3log_{5}{3})(1+log_{5}{3})}, \frac{1}{2}<log_{5}{3}<1 \Rightarrow \begin{cases} -3log^{2}_{5}{3}-3log_{5}{3}+2 < 0 \\ (1+3log_{5}{3})(1+log_{5}{3}) > 0 \end{cases} \Rightarrow A-B<0 \Rightarrow A<B[/tex]

[tex]log_{135}{625} < log_{15}{75}[/tex]

[ammornil]

(1)Опитах другия, но не мога да измисля база, в която да прехвърля дадените логаритми, за да създам сравними стойности. Единственото, което мога да измисля, е да взема натуралните логаритми и да определя връзката. Не мисля обаче, че това е необходимото тук.

[tex]A=log_{2}{3}=\frac{ln{3}}{ln{2}}[/tex]

[tex]B=log_{5}{11}=\frac{ln{11}}{ln{5}}[/tex]

[tex]A-B=\frac{ln{3}}{ln{2}}-\frac{ln{11}}{ln{5}}=\frac{ln{3}ln{5}-ln{2}ln{11}}{ln{2}.ln{5}} > 0[/tex]